Vai-se agora ver como resolver o problema de Apolónio dados uma linha (recta ou circunferência) e dois pontos do plano. Vai-se supor que pelo menos um dois pontos não pertence à linha; caso contrário, o problema tem exactamente uma solução: a própria linha.
Sejam P1 e P2 os pontos em questão e considere-se a circunferência centrada em P1 que passa por P2. Então a inversão nesta circunferência envia o ponto P1 em ∞, preserva o ponto P e envia a linha dada numa outra linha, que é também uma recta ou uma circunferência. Resolve-se então o problema de Apolónio para esta nova linha e para os pontos P2 e ∞. Invertendo estas soluções relativamente à circunferência, obtêm-se as soluções do problema de que se partiu.
Há exactamente uma solução caso um dos pontos pertença à recta. Nos restantes casos, há duas soluções caso os dois pontos estejam num dos dois semi-planos nos quais a recta divide o plano e não há soluções caso contrário.
Há exactamente uma solução caso um dos pontos pertença à circunferência. Nos restantes casos casos, há duas soluções caso ambos os dois pontos sejam internos ou ambos sejam externos à circunferência e não há soluções caso contrário.
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