Problema de Apolónio — Duas linhas e ponto no infinito

Vai-se agora ver como resolver o problema de Apolónio dados duas linha (rectas ou circunferências) e o ponto ∞.

Duas rectas e o ponto no infinito

Este caso é muito simples: não há soluções caso as rectas sejam concorrentes e há uma infinidade de soluções caso sejam paralelas, que são todas as rectas paralelas às rectas dadas.

Isto é um caso particular de um fenómeno geral: o problema de Apolónio tem uma infinidade de soluções quando (e só quando) dois dos objectos de que se parte são linhas tangentes num ponto P e o terceiro objecto é ou o ponto P ou uma terceira linha que também é tangente às outras duas no ponto P. Nos restantes casos, o problema de Apolónio tem, no máximo, oito soluções.

Circunferência, recta e ponto no infinito

Aqui há sempre duas e só duas soluções: as rectas paralelas à recta dada que são tangentes à circunferência dada.

Duas circunferências e ponto no infinito

Suponham-se agora dadas duas circunferência c₁ e c₂. O número de soluções do problema de Apolónio para as duas circunferências e ∞ pode tomar todos os valores de 0 a 4:

0 soluções:

quando uma das circunferências é interior à outra;

1 solução:

quando as circunferências forem tangentes e, com excepção do ponto de tangência, todos os pontos de uma delas forem interiores à outra;

2 soluções:

quando as circunferências se intersectam mas não são tangentes;

3 soluções:

quando as circunferências forem tangentes e, com excepção do ponto de tangência, todos os pontos de cada uma delas forem exteriores à outra;

4 soluções:

quando cada circunferência for exterior à outra.

As tangentes podem ser obtidas facilmente usando o seguinte facto: uma recta que passe pelo centro de c₁ e seja paralela a uma das tangente tem que ser tangente a uma circunferência centrada no centro de c₂ e cujo raio é a soma ou a diferença dos raios de c₁ e de c₂.

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