Vai-se agora ver como resolver o problema de Apolónio dados duas linha (rectas ou circunferências) e um ponto P do plano.
Este problema tem sempre uma solução, nomeadamente a recta que passa por P e que é paralela às rectas dadas. É a única solução caso P esteja fora da região do plano limitada pelas duas rectas. Caso esteja numa das rectas há outra solução: a circunferência tangente a essa recta em P e que passa pela outra recta. Nos restantos casos, há três soluções:a recta já referida e duas circunferências.
Este caso do problema pode ser resolvido (como, aliás, o caso anterior) considerando uma circunferência centrada no ponto P e invertendo as rectas nessa circunferência (embora esta não seja a resolução mais simples em nenhum dos casos). Isto reduz o problema ao problema de Apolónio relativo a duas linhas e ao ponto ∞. Caso P seja o ponto de intersecção das duas rectas, o problema não tem soluções; caso contrário, há duas soluções.
Os próximos dois casos do problema de Apolónio vão ser resolvidos pelo mesmo método.
O problema de Apolónio para uma circunferência, uma recta e um ponto do plano tem uma infinidade de soluções quando a circunferência e a recta são tangentes e o ponto dado é precisamente o ponto de tangência. Nos restantes casos, o número de soluções do problema pode tomar todos os valores de 0 a 4.
Este caso é muito semelhante ao anterior: há uma infinidade de soluções quando as circunferências são tangentes e o ponto dado é precisamente o ponto de tangência e, nos restantes casos, o número de soluções do problema pode tomar todos os valores de 0 a 4.
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