Vai-se agora ver como resolver o problema de Apolónio dadas três linhas rectas.
O problema de Apolónio para três rectas paralelas tem uma infinidade de soluções: todas as rectas que sejam também paralelas àquelas três.
O problema de Apolónio para duas rectas paralelas, r1 e r2 e uma terceira recta r3 concorrente com as outras duas tem exactamente duas soluções.
Dadas três rectas r1, r2 e r3, concorrentes duas a duas, o problemas de Apolónio tem 4 soluções, excepto se as três rectas tiverem um ponto em comum, caso em que não tem nenhuma.
Os centros das circunferências pode ser obtidos intersectando as bissectrizes dos ângulos que as rectas fazem entre si.
Já tinham ocorrido anteriormente casos em que o problema de Apolónio não tem soluções. Em todos esses casos, o que acontecia era o seguinte: para dois dos objectos dados, qualquer recta ou circunferência que seja tangente a ambos corta inevitavelmente o terceiro. No caso de três rectas concorrentes com um ponto em comum, o que faz com que o problema de Apolónio não tenha soluções é o facto de, para quaisquer dois dos objectos dados, nenhuma recta nem nenhuma circunferência tangente a ambos intersectar o terceiro.
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