Problema de Apolónio — Circunferência e duas rectas

Vai-se agora ver como resolver o problema de Apolónio dadas uma circunferência c e duas linhas rectas.

Circunferência e duas rectas paralelas

Neste caso há sempre exactamente duas rectas que são solução do problema: as rectas tangentes a c que são paralelas às rectas dadas. O número total de soluções pode tomar qualquer valor entre 2 e 6.

2 soluções:

quando ambas as rectas são exteriores à circunferência e a esta não está entre as rectas;

3 soluções:

quando a circunferência é tangente a uma das rectas e nenhum ponto da circunferência está estritamente entre as duas rectas;

4 soluções:

quando a circunferência intersecta uma das rectas em dois pontos e não intersecta a outra;

5 soluções:

quando a circunferência for tangente a alguma das rectas e estiver entre as duas;

6 soluções:

quando toda a circunferência está estritamente entre as duas rectas ou quando intersecta cada recta em mais que um ponto.

Circunferência e duas rectas concorrentes

Neste caso, o número de soluções pode ser 2, 3, 4, 5, 6 ou 8:

2 soluções:

quando a circunferência é tangente a uma das rectas e o ponto de tangência é o ponto de intersecção das rectas;

3 soluções:

quando a circunferência é tangente a uma das rectas e não intersecta a outra;

4 soluções:

quando a circunferência não intersecta qualquer das rectas ou quando intersecta uma delas em dois pontos mas não intersecta a outra;

5 soluções:

quando a circunferência é tangente a ambas as rectas;

6 soluções:

quando a circunferência é tangente a uma das rectas e intersecta a outra em mais do que um ponto (exceptuando o caso em que o ponto de tangência é o ponto de intersecção das rectas);

8 soluções:

quando a circunferência intersecta ambas as rectas em mais que um ponto.

Esta construção pode ser feita usando o facto de que, para qualquer solução (que é necessariamente uma circunferência), a circunferência com o mesmo centro e que passa pelo centro de c é tangente a rectas paralelas às rectas dadas, a uma distância dessas rectas igual ao raio de c.

Este é o primeiro caso que aparece em que o número de soluções pode ser igual a 8. Quando o problema de Apolónio tem somente um número finito de soluções, este é o maior número de soluções que pode ter. Além disso, já foram vistos todos os números possíveis de soluções que pode ter o problema de Apolónio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ou um número infinito de soluções. Em nenhum caso o problema de Apolónio tem exactamente 7 soluções.

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