Problema de Apolónio — Duas circunferências e uma recta

Vai-se agora ver como resolver o problema de Apolónio dadas duas circunferências c₁ e c₂ e uma linha recta.

Esta problema só tem soluções rectilíneas caso as tangentes comuns às duas circunferências sejam paralelas à recta dada; nesse caso há duas e só duas rectas que são solução do problema. A construção das circunferências que são solução do problema pode ser feita usando o facto de que, para qualquer delas, a circunferência com o mesmo centro e que passa pelo centro de c₁ é tangente

• a uma circunferência centrada no centro de c₂ cujo raio é a soma ou a diferenca dos raios de c₁ e c₂;
• a uma recta paralela à recta dada cuja distância a esta é igual ao raio de c₁.

Este caso do problema de Apolónio pode ter qualquer número de soluções de 0 a  8 (excepto 1 ou 7) ou uma infinidade de soluções. Vai ser vista uma situação de cada tipo.

0 soluções:

cada um dos semiplanos em que a recta divide o plano contém uma das circunferências e nenhuma destas é tangente à recta;

2 soluções:

as circunferências são tangentes (exterior ou interiormente) e a recta passa pelos seus centros;

3 soluções:

ambas as circunferências estão no mesmo dos dois semiplanos em que a recta divide o plano, são tangentes uma à outra e são tangentes à recta;

4 soluções:

as circunferências intersectam-se em dois pontos e a recta é exterior a ambas;

5 soluções:

a recta intersecta uma das circunferências em dois pontos e a outra circunferência é tangente exteriormente à primeira e também é tangente à recta;

6 soluções:

as circunferências intersectam-se em dois pontos e a recta é tangente a uma delas, sendo o ponto de tangência interior à outra circunferência;

8 soluções:

ambas as circunferências estão no mesmo dos dois semiplanos em que a recta divide o plano, não se intersectam e nenhuma delas divide a recta;

infinidade de soluções:

as circunferências e a recta são tangentes umas às outras, com o mesmo ponto de tangência.

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