Inversão numa circunferência

Inversão de pontos

A inversão numa circunferência é análoga à reflexão numa recta. Consiste no seguinte: dados uma circunferência c de centro O e um ponto P distinto de O, o inverso de P relativamente a c é o ponto P′ que:

• P′ está na semi-recta com origem em O que passa por P;
• o produto das distâncias de O a P e de O a P′ é igual ao quadrado do raio de c.

Observações

• A inversão relativamente a c envia pontos que são exteriores a c em pontos que são interiores a c e vice-versa.
• Naturalmente, a definição não faz sentido aplicada ao próprio ponto O, mas é natural prolongar o conceito de inversão relativamente a c dizendo que envia o ponto O no ponto no infinito e vice-versa.
• Os únicos pontos iguais à sua própria inversa são os pontos de c.
• O raio de c é o meio proporcional das distâncias de O a P e de O a P′.
• O inverso de P em c pode ser construído usando somente régua e compasso.
• Em coordenadas cartesianas, a inversão na circunferência de centro 0 e raio 1 é a função que envia o ponto (x,y) no ponto (x² + y²)⁻¹(x,y).
• Em coordenadas polares, a inversão na circunferência de centro 0 e raio 1 é a função que envia o ponto (ρ,θ) no ponto (ρ⁻¹,θ).

Inversão de linhas

Dada uma linha no plano, se se construir o inverso de cada um dos seus pontos numa circunferência c obtém-se outra linha. Caso a linha em questão seja uma recta, a sua inversa relativamente a c é uma circunferência (que passa pelo centro O de c), excepto se a recta passar pelo centro de c, caso em que a sua inversa é ela própria.

Inversão da recta r na circunferência c. Desloque a recta r, a circunferência c ou um dos quatro pontos e verá a inversa de r relativamente a c (a linha a vermelho) a modificar-se.

A inversa de uma circunferência c′ relativamente a c é uma circunferência, excepto quando c′ passar pelo centro de c, caso em que a inversa de c′ relativamente a c é uma recta.

Inversão da circunferência c′ na circunferência c. Desloque uma das circunferências c ou c′ ou um dos quatro pontos e verá a inversa de c′ relativamente a c (a linha a vermelho) a modificar-se.

Data da última actualização deste documento: 2009–05–12

Autor: José Carlos Santos