Utilização de Computadores no Ensino da Matemática

<body> <div class="tit">Computadores no Ensino da Matemática <br /> Mestrado em Ensino da Matemática <br /> Ano lectivo 2001 — 2002 <br /></div> <table align="center" cellspacing="10" summary="lista das aulas"> <tr> <td><a href="ucem0102.html#aula1">Aula nº 1</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula2">Aula nº 2</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula3">Aula nº 3</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula4">Aula nº 4</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula5">Aula nº 5</a></td> </tr> <tr> <td><a href="ucem0102.html#aula6">Aula nº 6</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula7">Aula nº 7</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula8">Aula nº 8</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula9">Aula nº 9</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula10">Aula nº10</a></td> </tr> <tr> <td><a href="ucem0102.html#aula11">Aula nº11</a></td> <td><a href="ucem0102.html#aula12">Aula nº12</a></td> </tr> </table> <h1><a name="aula1"></a>Aula nº1</h1> Investigaram-se algumas das operações básicas do <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span>. Entre outras coisas, viu-se como ilustrar o enunciado do teorema de Pitágoras. <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="596" height="416"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(280,176); {2} Point(259,229); {3} Ray(2,1)[hidden,black]; {4} Rotation(1,2,1.57079637)[hidden]; {5} Rotation(3,1,1.57079637)[hidden,black]; {6} VectorTranslation(4,2,1)[hidden]; {7} Point on object(5,2.51422453); {8} Polygon(4,6,1,2)[green]; {9} Rotation(7,2,1.57079637)[hidden]; {10} Rotation(2,7,1.57079637)[hidden]; {11} Rotation(7,1,1.57079637)[hidden]; {12} Area(8,19,56,'Area(Polygon BAA''''A'') = ')[hidden,yellow]; {13} VectorTranslation(10,7,2)[hidden]; {14} VectorTranslation(11,1,7)[hidden]; {15} Polygon(10,13,2,7)[red]; {16} Polygon(11,14,7,1)[yellow]; {17} Area(15,19,19,'Área vermelha = ')[suffix(' '),black]; {18} Area(16,19,80,'Area(Polygon AEE''''E'') = ')[hidden,yellow]; {19} Calculate(19,42,'Áreas verde e amarela = ','AB+')(12,18)[suffix(' '),black]; " /> </applet> </div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula2"></a>Aula nº2</h1> <p>Estudou-se a criação de gráficos de funções e o comando <kbd>locus</kbd>. Este comando foi usado na criação do cónica que se segue:</p> <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="581" height="311"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(255,21); {2} Point(387,21); {3} Segment(2,1)[color(0,0,128)]; {4} Point(226,175); {5} Point(446,168); {6} Circle by radius(5,3)[color(0,128,0),hidden]; {7} Point on object(6,-2.73003)[color(255,0,0),hidden]; {8} Segment(4,7)[color(0,0,128),hidden]; {9} Midpoint(8)[color(255,0,0),hidden]; {10} Perpendicular(8,9)[color(0,0,128),hidden]; {11} Ray(7,5)[color(0,0,128),hidden]; {12} Intersect(10,11)[color(255,0,0),hidden]; {13} Locus(12,7,6,250)[color(128,0,0)]; {14} Circle by radius(4,3)[color(0,128,0),hidden]; {15} Point on object(14,-0.400883)[color(255,0,0),hidden]; {16} Segment(5,15)[color(0,0,128),hidden]; {17} Midpoint(16)[color(255,0,0),hidden]; {18} Perpendicular(16,17)[color(0,0,128),hidden]; {19} Ray(15,4)[color(0,0,128),hidden]; {20} Intersect(19,18)[color(255,0,0),hidden]; {21} Locus(20,15,14,250)[color(128,0,0)]; " /> </applet> </div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula3"></a>Aula nº3</h1> <p>Esteve-se a ver como criar <span class="sl">tools</span>, tendo-se criado um que constrói o inverso de um ponto relativamente a uma circunferência. Isto foi usado para estudar a inversão de uma recta relativamente a uma circunferência, que se pode ver na figura abaixo:</p> <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="546" height="378"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(251,173); {2} Point(368,150); {3} Circle(1,2)[color(0,128,0)]; {4} Point(66,280); {5} Point(385,237); {6} Line(5,4)[color(0,0,128)]; {7} Point on object(6,0.733966)[color(255,0,0),hidden]; {8} Point on object(3,-2.3043)[color(255,0,0),hidden]; {9} Point on object(3,-1.89817)[color(255,0,0),hidden]; {10} Point on object(3,2.39807)[color(255,0,0),hidden]; {11} Segment(8,10)[color(0,0,128),hidden]; {12} Midpoint(11)[color(255,0,0),hidden]; {13} Perpendicular(11,12)[color(0,0,128),hidden]; {14} Segment(9,8)[color(0,0,128),hidden]; {15} Midpoint(14)[color(255,0,0),hidden]; {16} Perpendicular(14,15)[color(0,0,128),hidden]; {17} Intersect(16,13)[color(255,0,0),hidden]; {18} Segment(7,17)[color(0,0,128),hidden]; {19} Midpoint(18)[color(255,0,0),hidden]; {20} Circle(19,17)[color(0,128,0),hidden]; {21} Intersect1(20,3)[color(255,0,0),hidden]; {22} Intersect2(20,3)[color(255,0,0),hidden]; {23} Segment(22,21)[color(0,0,128),hidden]; {24} Intersect(23,18)[color(255,0,0),hidden]; {25} Ray(7,17)[color(0,0,128),hidden]; {26} Perpendicular(25,7)[color(0,0,128),hidden]; {27} Intersect1(26,3)[color(255,0,0),hidden]; {28} Segment(17,27)[color(0,0,128),hidden]; {29} Perpendicular(28,27)[color(0,0,128),hidden]; {30} Intersect(29,25)[color(255,0,0),hidden]; {31} Locus(30,7,6,250)[color(128,0,0)]; {32} Locus(24,7,6,250)[color(128,0,0)]; " /> </applet> </div> <p>Também se viu como aproveitar o facto de o <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span> não produzir mensagens de erro quando se lhe pede para fazer construções impossíveis (intersecção de rectas paralelas, por exemplo). Segue-se um exemplo do uso desta propriedade; o <span class="sl">sketch</span> que se segue determina o caminho mais curto entre dois pontos <span class="sketch">A</span> e <span class="sketch">B</span> que passa por uma recta dada:</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="431" height="326"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(163,256)[hidden]; {2} Point(611,256)[hidden]; {3} Point(62,158)[label('A')]; {4} Point(310,124)[label('B')]; {5} Line(2,1)[thick,cyan]; {6} Segment(4,3)[hidden,black]; {7} Distance(4,3,19,85,'Distância de A a B = ')[suffix(' '),black]; {8} Intersect(6,5)[hidden]; {9} Reflection(4,5)[hidden]; {10} Segment(9,3)[hidden,black]; {11} Distance(8,3,19,116,'Distance(A to E) = ')[hidden,black]; {12} Distance(4,8,19,136,'Distance(E to B) = ')[hidden,black]; {13} Segment(4,8)[thick,yellow]; {14} Segment(8,3)[thick,yellow]; {15} Intersect(10,5)[hidden]; {16} Calculate(18,66,'O trajecto mínimo é de ','AB+')(11,12)[suffix(' '),black]; {17} Segment(15,3)[thick,yellow]; {18} Segment(4,15)[thick,yellow]; {19} Length(17,19,30,'Length(Segment AG) = ')[hidden,black]; {20} Length(18,19,52,'Length(Segment GB) = ')[hidden,black]; {21} Calculate(18,66,'O trajecto mínimo é de ','AB+')(19,20)[suffix(' '),black]; " /> </applet> </div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula4"></a>Aula nº4</h1> <p>Esteve-se a ver como se usa o comando <span class="soft">Iterate</span> para construções iterativas.</p> <p>O <span class="sl">sketch</span> que se segue ilustra a propriedade de reflexão das parábolas: um raio luminoso perpendicular à directriz da parábola produz, ao reflectir-se nesta, um raio que passa pelo foco. Repare-se que contém um botão de animação.</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="577" height="333"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(290,302)[label('vértice')]; {2} UnitPoint(1,246.18896484)[hidden]; {3} Rotation(2,1,1.57079637)[hidden]; {4} Origin&Unit(1,2)[hidden,black]; {5} Ray(3,1)[hidden,black]; {6} AxisY(4)[hidden,black]; {7} AxisX(4)[hidden,black]; {8} Point on object(7,0.03914837)[hidden]; {9} Point on object(7,0.89666945)[hidden]; {10} Point on object(5,0.24003449)[label('foco')]; {11} AnimateButton(248,35,'Animação')(8,7)(3)(0)(1)[black]; {12} Coordinates(8,4,-45,189,'Coordinate(Point F): ')[hidden,black]; {13} Coordinates(9,4,-45,110,'Coordinate(Point D): ')[hidden,black]; {14} Coordinates(10,4,-45,68,'Coordinate(Point foco): ')[hidden,black]; {15} Calculate(-45,209,'x[F] = ','#A1')(12)[hidden,black]; {16} Calculate(-45,121,'x = ','#A1')(13)[hidden,suffix(' '),black]; {17} Calculate(-45,79,'a = ','#A2')(14)[hidden,suffix(' '),black]; {18} Calculate(-45,272,'x[F] + 1 = ','A1.0000000000 +')(15)[hidden,black]; {19} Calculate(-45,243,'x[F]^2/(a*4) = ','A2.0000000000 ^B4.0000000000 */')(15,17)[hidden,black]; {20} Calculate(-45,161,'x^2/(4*a) = ','A2.0000000000 ^4.0000000000 B*/')(16,17)[hidden,black]; {21} Calculate(-45,306,'(x[F]^2/(a*4)) + x[F]/(2*a) = ','AB2.0000000000 C*/+')(19,15,17)[hidden,black]; {22} PlotXY(19,4,15); {23} PlotXY(20,4,16)[hidden]; {24} VectorTranslation(22,1,10)[hidden]; {25} PlotXY(21,4,18)[hidden]; {26} Locus(23,9,7,1000)[thick,red]; {27} Ray(24,22)[black]; {28} Line(22,25)[black]; {29} Perpendicular(28,22)[hidden,black]; {30} Reflection(27,29)[black]; " /> </applet> </div> <p>O <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span> permite guardar em formato <span class="soft">HTML</span> os <span class="sl">sketches</span> por ele produzidos. No entanto, nem todas as contruções são passíveis de serem guardadas naquele formato; por exemplo, as funções definidas com a calculadora ou as abcisas e as ordenadas de pontos não são convertíveis. Problema: descobrir como se faz o <span class="sl">sketch</span> cuja conversão tem o seguinte aspecto:</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="585" height="315"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(286,148); {2} UnitPoint(1,37.7953)[color(255,0,0)]; {3} HorizontalAxis(1,2)[color(0,0,128)]; {4} SquareUnitPoint(2)[color(255,0,0),hidden]; {5} VerticalAxis(1,4)[color(0,0,128)]; {6} CoordSysByAxes(3,5)[color(192,192,192),hidden]; {7} Distance(2,1,14,19,'')[color(0,0,0),hidden]; {8} Line(2,1)[color(0,0,128),hidden]; {9} Point(372,66); {10} Perpendicular(8,9)[color(0,0,128),hidden]; {11} Intersect(10,8)[label('A'),color(255,0,0),hidden]; {12} Distance(1,11,14,19,'')[color(0,0,0),hidden]; {13} Distance(2,11,14,19,'')[color(0,0,0),hidden]; {14} Calculate(14,19,'','AB/')(12,7)[color(0,0,0),hidden]; {15} Calculate(14,19,'','AB/')(13,7)[color(0,0,0),hidden]; {16} Calculate(14,19,'abcissa = ','1 A2 ^+B2 ^-2 /')(14,15)[color(0,0,0)]; {17} Distance(2,1,14,43,'')[color(0,0,0),hidden]; {18} Perpendicular(8,1)[color(0,0,128),hidden]; {19} Rotation(2,1,1.5708)[label('B'''),color(255,0,0),hidden]; {20} Perpendicular(18,9)[color(0,0,128),hidden]; {21} Intersect(20,18)[label('C'),color(255,0,0),hidden]; {22} Distance(21,1,14,43,'')[color(0,0,0),hidden]; {23} Distance(21,19,14,43,'')[color(0,0,0),hidden]; {24} Calculate(14,43,'','AB/')(22,17)[color(0,0,0),hidden]; {25} Calculate(14,43,'','AB/')(23,17)[color(0,0,0),hidden]; {26} Calculate(14,43,'ordenada = ','1 A2 ^+B2 ^-2 /')(24,25)[color(0,0,0)]; " /> </applet> </div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula5"></a>Aula nº5</h1> <p>Esteve-se a ver como se usa o comando <span class="soft">Trace</span>. Um exemplo, foi a construção da cardióide, que é um caso particular da epiciclóide:</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="471" height="414"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(19,53); {2} Point(103,53); {3} Point(18,73); {4} Point(68,73); {5} Point(206,213); {6} Segment(2,1)[black]; {7} Segment(4,3)[black]; {8} VectorTranslation(2,1,5)[hidden]; {9} Circle by radius(5,6)[black]; {10} VectorTranslation(4,3,8)[hidden]; {11} Circle by radius(3,7)[hidden,black]; {12} Circle(5,10)[hidden,black]; {13} Point on object(11,-0.59840387)[hidden]; {14} Point on object(12,-0.26840960); {15} Circle by radius(14,7)[black]; {16} VectorTranslation(13,3,14)[traced]; {17} AnimateButton(15,15,'Animação')(14,12,13,11)(3,3)(0,0)(1,1)[black]; " /> </applet> </div> <p>Esteve-se a ver como construir páginas em <span class="soft">HTML</span> usando o <span class="soft">Netscape Composer</span>.</p> <h2>Texto e imagens</h2> <p>Foi visto como escrever texto e introduzir diversos efeitos (texto em <span class="enf">negrito</span> ou em <span class="mat">itálico</span>). Além disso, viu-se como ir buscar imagens a páginas da Internet e como as introduzir num texto.</p> <h2>Listas</h2> <p>Foi visto como criar três tipos de listas:</p> <h3>Listas numeradas:</h3> <ol> <li><p>Primeiro artigo</p></li> <li><p>Segundo artigo</p></li> </ol> <h3>Listas não numeradas:</h3> <ul> <li><p>Um artigo</p></li> <li><p>Outro artigo</p></li> </ul> <h3>Listas de definições:</h3> <dl> <dt><span class="enf">Lista numerada</span></dt> <dd>Lista onde aparece um número à esquerda de cada artigo, começando em 1 e aumentando uma unidade de cada vez.</dd> <dt><span class="enf">Lista não numerada</span></dt> <dd>Lista onde aparece um símbolo (sempre o mesmo, geralmente um disco preto ou uma circunferência) à esquerda de cada artigo.</dd> </dl> <h2>Applets</h2> <p>Esteve-se a ver como criar <span class="sl">applets</span> de <span class="soft">Java</span> com o <span class="soft"> Geometer's Sketchpad</span> e incluí-los numa página em <span class="soft">HTML</span>.</p> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula6"></a>Aula nº6</h1> Nesta aula, fez-se uma introdução ao <span class="soft">Maple</span>. <h2>Conceitos básicos</h2> <p>Qualquer instrução do <span class="soft">Maple</span> deve terminar com ponto e vírgula (;) ou com dois pontos (:).</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">2+2;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula141.gif" width="24" height="20" alt="4" /></div> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">2+2:</span></p> <p>Em qualquer dos casos, o <span class="soft">Maple</span> executa o comando; a diferença reside no facto de o <span class="soft">Maple</span> só mostrar o resultado obtido se a instrução terminar como ponto e vírgula.</p> <p>O símbolo % designa o resultado da última operação efectuada; %% designa o penúltimo e %%% designa o antepenúltimo.</p> <p>Para se atribuir um valor a uma sequência de caracteres (<span class="mat">abc</span>, por exemplo) escreve-se <span class="mat">abc</span> := seguido do valor pretendido. Por exemplo, para atribuir a <span class="mat">a</span> o valor do último cálculo faz-se:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">a:=%;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula142.gif" width="52" height="20" alt="a := 4" /></div> <p>Acessoriamente, repare-se que isto mostra que o <span class="soft">Maple</span> fez efectivamente o segundo cálculo, embora não tenha mostrado o resultado.</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">b:=2:c:=3:</span></p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">b;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula143.gif" width="24" height="20" alt="2" /></div> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">c;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula144.gif" width="24" height="20" alt="3" /></div> <p>Agora que <span class="enf">a</span>, <span class="enf">b</span> e <span class="enf">c</span> estão definidos, é interessante ver o que se obtém se se faz:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> a:=b:b:=c:c:=a:</span></p> <p>A resposta obtém-se fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> a;b;c;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula145.gif" width="24" height="20" alt="2" /></div> <div><img src="imagens/m14/aula146.gif" width="24" height="20" alt="3" /></div> <div><img src="imagens/m14/aula147.gif" width="24" height="20" alt="2" /></div> <p>Como se pode ver, o resultado <span class="mat">não é</span> uma permutação de <span class="enf"> a</span>, <span class="enf">b</span> e <span class="enf">c</span>.</p> <p>Os nomes das variáveis não estão de modo algum limitados a um único caracter:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> numero:=10;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula148.gif" width="101" height="20" alt="numero := 10" /></div> <p>As funções definem-se do seguinte modo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> f:=x->x*sin(x);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula149.gif" width="123" height="20" alt="f := proc (x) options operator, arrow; x*sin(x) end..." /></div> <h2>Gráficos</h2> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot(f(x),x=0..2*Pi);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1410.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>A derivada de <span class="enf">f</span> representa-se por <span class="enf">D(f)</span>, pelo que os gráficos de <span class="enf">f</span> e de <span class="enf">f'</span> podem ser obtidos simultaneamente fazendo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot({f(x),D(f)(x)},x=0..2*Pi);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1411.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Se se clicar na imagem com o botão direito do rato, obtém-se um menu que permite alterar certas características da imagem. Também é possível descrever certas características ao escrever o comando:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot({f(x),D(f)(x)},x=0..2*Pi,color=[blue,black]);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1412.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <h2>Cálculo simbólico</h2> <p>Considere-se agora a função:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> p:=x->1-x^2;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1413.gif" width="118" height="29" alt="p := proc (x) options operator, arrow; 1-x^2 end pr..." /></div> <p>Quer-se estudar a área limitada por uma porção da parábola; para tal define-se:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">a:=(k,n)->-1+2*k/n;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1414.gif" width="164" height="45" alt="a := proc (k, n) options operator, arrow; -1+2*k/n ..." /></div> <p>Então a área da região poligonal é dada por:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> sum((p(a(k,n))+p(a(k-1,n)))/n,k=1..n);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1415.gif" width="491" height="63" alt="-8*(n+1)/(n^2)-28/3*(n+1)/(n^3)+4*(n+1)^2/(n^2)+8*(..." /></div> <p>Isto pode ser simplificado fazendo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">simplify(%);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1416.gif" width="83" height="63" alt="4/3*(-1+n^2)/(n^2)" /></div> <p>Qual é a área da região entre a parábola e o eixo dos <span class="mat">xx</span>? É dada por</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">int(1-x^2,x = -1 .. 1);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula155.gif" width="24" height="45" alt="4/3" /></div> <p>É de esperar que este valor seja o limite da soma das áreas das figuras poligonais. De facto assim é, conforme se pode verificar fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">limit(%%,n=infinity);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula156.gif" width="24" height="45" alt="4/3" /></div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula7"></a>Aula nº7</h1> <h2>Cálculo simbólico (continuação)</h2> <p>O Maple conhece o valor de pi:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">Pi;</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1512.gif" width="26" height="20" alt="Pi" /></div> <p>Isto pode ser calculado numericamente, bastando para tal fazer</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf(%);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1513.gif" width="100" height="20" alt="3.141592654" /></div> <p>ou, caso se queira ver o resultado com (por exemplo) 30 casas decimais</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf(%%,30);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1514.gif" width="260" height="20" alt="3.14159265358979323846264338328" /></div> <p>Outra maneira de obter este resultado consiste em fazer</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf[30](Pi);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1514.gif" width="260" height="20" alt="3.14159265358979323846264338328" /></div> <h2>Sequências e listas</h2> <p>Uma sequência é apenas uma sequência de símbolos separados por vírgulas. Por exemplo:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">l=1,2,3;</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula717.gif" width="80" height="20" alt="l := 1, 2, 3" /></div> <p>Agora, se se quiser obter novamente esta sequência, basta fazer:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">l;</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula718.gif" width="56" height="20" alt="1, 2, 3" /></div> <p>Uma lista é uma sequência enquadrada por parêntesis rectos:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">l=[1,2,4,8,16];</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula169.gif" width="157" height="20" alt="lista := [1, 2, 4, 8, 16]" /></div> <p>Se se quiser obter, por exemplo, o terceiro elemento de uma lista (ou de uma sequência), basta fazer:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">l[3];</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1610.gif" width="24" height="20" alt="4" /></div> <p>Isto também funciona para sequências. Em contrapartida, o seguinte comando, que dá o número de elementos de uma lista, não funciona para sequências:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">nops[l];</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1611.gif" width="24" height="20" alt="5" /></div> <p>Pode-se agora definir uma função que associa a cada lista a soma dos seus elementos.</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">soma:=l->sum(l[k],k=1..nops(l));</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1613.gif" width="161" height="68" alt="soma := proc (l) options operator, arrow; sum(l[k],..." /></div> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">soma(l);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1614.gif" width="32" height="20" alt="31" /></div> <h2>Resolução de equações</h2> <p>Para se resolver equações, faz-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">solve(x^3=x+a,x);</span></p> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula72.gif" width="717" height="132" alt="1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/(108*a+12*s..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula73.gif" width="246" height="95" alt="1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/(108*a+12*s..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula74.gif" width="551" height="132" alt="1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/(108*a+12*s..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula75.gif" width="488" height="132" alt="1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/(108*a+12*s..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula76.gif" width="547" height="132" alt="1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/(108*a+12*s..." /></div> <p>Se se quer definir a função que a cada <span class="mat">a</span> associa a lista das soluções da equação anterior, emprega-se o comando <span class="soft">unapply</span>:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">so:=unapply([solve(x^3=x+a,x)],a);</span></p> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula78.gif" width="545" height="132" alt="so := proc (a) options operator, arrow; [1/6*(108*a..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula79.gif" width="488" height="132" alt="so := proc (a) options operator, arrow; [1/6*(108*a..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula710.gif" width="551" height="132" alt="so := proc (a) options operator, arrow; [1/6*(108*a..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula711.gif" width="488" height="132" alt="so := proc (a) options operator, arrow; [1/6*(108*a..." /></div> <br /> <div class="left"><img src="imagens/mb7/aula712.gif" width="555" height="132" alt="so := proc (a) options operator, arrow; [1/6*(108*a..." /></div> <p>Para determinar numericamente as soluções da equação para um valor concreto de <span class="mat">a</span>, basta agora fazer</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf(so(2));</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula716.gif" width="530" height="20" alt="[1.521379707, -.7606898534+.8578736270*I, -.7606898..." /></div> <p>Considere-se agora o seguinte problema. Quer-se associar a cada função polinomial <span class="mat">p</span> o gráfico da função definida por <span class="mat">p(x)*x*(x-1)</span> no intervalo [0,1], juntamente com uma recta horizontal tangente ao gráfico anterior. Começa-se por definir:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">pol:=f->unapply(f(x)*x*(x-1),x);</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula727.gif" width="252" height="20" alt="pol := proc (f) options operator, arrow; unapply(f(..." /></div> <p>Para se ver que isto realmente funciona, basta ver que se se definir:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">f:=x->x-1/2;</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula728.gif" width="106" height="45" alt="f := proc (x) options operator, arrow; x-1/2 end pr..." /></div> <p>então tem-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">pol(f)(x);</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula729.gif" width="128" height="45" alt="(x-1/2)*x*(x-1)" /></div> <p>Então, recorrendo ao comando <span class="soft">fsolve</span>, que fornece soluções numéricas de equações, faz-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">rolle:=p->plot([pol(p)(x),pol(p)([fsolve(D(pol(p))(x)=0,x=0..1)][1])],x=0..1);</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula730.gif" width="588" height="31" alt="rolle := proc (p) options operator, arrow; plot([po..." /></div> <p>Aplicando isto à função <span class="soft">f</span> acima definida, obtém-se:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">rolle(f);</span></p> <div><img src="imagens/mb7/aula731.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula8"></a>Aula nº8</h1> <h2>Gráficos de funções</h2> <p>Considere-se a seguinte função:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">f:=x->x*sin(Pi*x);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1520.gif" width="137" height="20" alt="f := proc (x) options operator, arrow; x*sin(Pi*x) ..." /></div> <p>Quer-se ilustrar o teorema da média de Lagrange usando a função <span class="mat">f</span>. Para tal, quer-se definir uma função que, partindo de uma função <span class="mat">f</span> e duas listas <span class="mat">p</span> e <span class="mat">d</span> de dois números cada, desenhe:</p> <ul> <li>o gráfico (a vermelho) de <span class="mat">f</span> (restrita ao intervalo cujos extremos são dados pela lista <span class="mat">d</span>);</li> <li>o segmento de recta (a azul) que une <span class="mat">(p<sub><small>1</small></sub>,f(p<sub><small>1</small></sub>))</span> a <span class="mat">(p<sub><small>2</small></sub>,f(p<sub><small>2</small></sub>))</span>;</li> <li>uma recta (a verde) tangente ao gráfico que seja paralela ao segmento anterior.</li> </ul> <p>Isto pode ser obtido do seguinte modo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">graf:=(f,d,p)->plot([f(x),[[p[1],f(p[1])],[p[2],f(p[2])]],<br /> (f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1])*(x-fsolve(D(f)(x)=<br /> (f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1]),x=p[1]..p[2]))+<br /> f(fsolve(D(f)(x)=(f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1]),x=p[1]..p[2]))],<br /> x=d[1]..d[2],color=[red,blue,green],view=[d[1]..d[2],-3..3]);<br /></span></p> <div class="left"><img src="imagens/mb8/aula82.gif" width="384" height="91" alt="graf := proc (f, d, p) options operator, arrow; plo..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula83.gif" width="458" height="91" alt="graf := proc (f, d, p) options operator, arrow; plo..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula84.gif" width="611" height="91" alt="graf := proc (f, d, p) options operator, arrow; plo..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula85.gif" width="179" height="91" alt="graf := proc (f, d, p) options operator, arrow; plo..." /></div> <p>A última instrução opcional faz com que se veja o gráfico com <span class="mat">y</span> a variar entre –3 e 3. Eis um exemplo de aplicação desta instrução:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">graf[f,[-1/2,7/2],[1/2,5/2]]</span></p> <div><img src="imagens/mb8/aula86.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Naturalmente, esta maneira de definir a instrução presta-se muita a que se cometam erros de difícil detecção. É preferível recorrer à instrução <span class="soft">proc</span>, a qual permite definir variáveis locais.</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">grafb := proc(f,d,p) <br />local decl, m; <br />decl:=(f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1]): <br />m:=fsolve(D(f)(x)=decl,x=p[1]..p[2]): <br />plot([f(x),[[p[1],f(p[1])],[p[2],f(p[2])]],decl*(x-m)+f(m)], <br />x=d[1]..d[2],color=[red,blue,green],view=[d[1]..d[2],-3..3]); <br />end proc;</span></p> <div class="left"> <img src="imagens/mb8/aula87.gif" width="147" height="20" alt="grafb := proc (f, d, p) local decl, m; decl := (f(p..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula88.gif" width="101" height="20" alt="grafb := proc (f, d, p) local decl, m; decl := (f(p..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula89.gif" width="328" height="20" alt="grafb := proc (f, d, p) local decl, m; decl := (f(p..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula810.gif" width="334" height="20" alt="grafb := proc (f, d, p) local decl, m; decl := (f(p..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula811.gif" width="602" height="20" alt="grafb := proc (f, d, p) local decl, m; decl := (f(p..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula812.gif" width="434" height="20" alt="grafb := proc (f, d, p) local decl, m; decl := (f(p..." /> <br /> <img src="imagens/mb8/aula813.gif" width="73" height="20" alt="grafb := proc (f, d, p) local decl, m; decl := (f(p..." /></div> <p>Agora tem-se:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">grafb(f,[-1/2,7/2],[1/2,5/2]);</span></p> <div><img src="imagens/mb8/aula86.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula9"></a>Aula nº9</h1> <h2>Sequências</h2> <p>Problema: obter os quadrados dos primeiros vinte inteiros. Isto pode ser feito do seguinte modo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">q:=seq(i^2,i=1..20);</span></p> <div><img src="imagens/mb9/aula91.gif" width="580" height="20" alt="q := 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144..." /></div> <p>Agora quer-se obter os logaritmos dos quadrados dos primeiros vinte inteiros. Naturalmente, basta repetir o que foi feito atrás, mas também se pode usar o que já se encontra feito.</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">seq(evalf(log(i)),i=q);</span></p> <div class="left"><img src="imagens/mb9/aula92.gif" width="676" height="20" alt="0., 1.386294361, 2.197224577, 2.772588722, 3.218875..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula93.gif" width="748" height="20" alt="0., 1.386294361, 2.197224577, 2.772588722, 3.218875..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula94.gif" width="376" height="20" alt="0., 1.386294361, 2.197224577, 2.772588722, 3.218875..." /></div> <h2>Gráficos (continuação)</h2> <p>O seguinte comando «carrega» o <span class="sl">package</span> «plots».</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">with(plots);</span></p> <p><span class="mapleb">Warning, the name changecoords has been redefined</span><br /></p> <div class="left"> <img src="imagens/mb9/aula95.gif" width="749" height="20" alt="[animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoo..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula96.gif" width="695" height="20" alt="[animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoo..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula97.gif" width="737" height="20" alt="[animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoo..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula98.gif" width="739" height="20" alt="[animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoo..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula99.gif" width="711" height="20" alt="[animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoo..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula910.gif" width="542" height="20" alt="[animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoo..." /> </div> <p><span class="enf">Nota:</span> Para se consultar, através do menu <span class="soft">Help</span>, uma das instruções definidas neste package, por exemplo a função <span class="soft">complexplot</span>, é preciso fazer uma busca por «<span class="soft">plots,complexplot</span>».</p> <p>Considere-se agora a sequência</p> <p><span class="maple">p:=seq([1/2-1/n,5/2-1/n],n=1..20);</span></p> <div class="left"> <img src="imagens/mb9/aula911.gif" width="724" height="45" alt="p := [-1/2, 3/2], [0, 2], [1/6, 13/6], [1/4, 9/4], ..." /> <br /> <img src="imagens/mb9/aula912.gif" width="504" height="45" alt="p := [-1/2, 3/2], [0, 2], [1/6, 13/6], [1/4, 9/4], ..." /> </div> <p>Pode-se agora obter uma sequência de gráficos fazendo:</p> <p><span class="maple">S:=f->seq(graf(f,[-1/2,7/2],i),i=p);</span></p> <div> <img src="imagens/mb9/aula913.gif" width="257" height="45" alt="S := proc (f) options operator, arrow; seq(graf(f,[..." /> </div> <p>É possível visualizar os gráficos sobrepostos fazendo:</p> <p><span class="maple">display(S(F));</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula181.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>O que é mais interessante é que se pode agora obter uma animação fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">display(S(f),insequence=true);</span></p> <div><img src="imagens/m17/aula173.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <h2>Gráficos tridimensionais</h2> <p>Quer-se agora criar um cone. Pode-se fazer</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot3d(z,theta=-Pi..Pi,z=-1..1,coords=cylindrical);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula198.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>ou então</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot3d(z,theta=-Pi..Pi,z=-1..1,coords=cylindrical,style=patchnogrid);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula199.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Quer-se ilustrar como é possível obter as cónicas intersectando um plano com um cone. Considere-se o seguinte cone:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> cone:=plot3d(z,theta=-Pi..Pi,z=-3/2..3/2,coords=cylindrical,<br /> scaling=constrained,view=[-3/2..3/2,-3/2..3/2,-3/2..3/2]):</span></p> <p>Define-se agora a função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> S:=p->display(plot3d([a,1+b*(p-1),b],a=-3/2..3/2,b=-3/2..3/2,<br /> scaling=constrained,style=patchnogrid,<br /> view=[-3/2..3/2,-3/2..3/2,-3/2..3/2]),cone);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula201.gif" width="726" height="45" alt="S := proc (p) options operator, arrow; display(plot..." /> <br /> <img src="imagens/m20/aula202.gif" width="263" height="45" alt="S := proc (p) options operator, arrow; display(plot..." /></div> <p>e considera-se a lista</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">lista:=[seq(-2+k/3,k=0..12)];</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula203.gif" width="315" height="45" alt="lista := [-2, -5/3, -4/3, -1, -2/3, -1/3, 0, 1/3, 2..." /></div> <p>A intersecção do plano com o cone pode ser visualizado fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> display([seq(S(c),c=lista)],insequence=true);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula204.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula10"></a>Aula nº10</h1> <h2>Gráficos (continuação)</h2> <p>Como fazer com que o <span class="soft">Maple</span> faça uma circunferência? Há várias maneiras. Uma que é natural, dado o que se acabou de ver, é a seguinte:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> display(plot(sqrt(1-x^2),x=-1..1,scaling=constrained,xtickmarks=4,<br /> labels=["",""]),plot(-sqrt(1-x^2),x=-1..1));</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Matematicamente, é mais natural descrever a circunferências parametricamente, fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,xtickmarks=4,<br /> labels=["",""]);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>ou</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([(t^2-1)/(t^2+1),2*t/(t^2+1),t=-infinity..infinity],<br /> scaling=constrained,xtickmarks=4,labels=["",""]);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Também podem ser empregues coordenadas polares</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">plot([1,t,t=0..2*Pi],coords=polar,scaling=constrained,xtickmarks=4,<br />labels=["",""]); </span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Finalmente, há o recurso às funções definidas implicitamente</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> implicitplot(x^2+y^2=1,x=-1..1,y=-1..1,<br /> scaling=constrained,xtickmarks=4,labels=["",""]);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula185.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <h2>Uso de números aleatórios</h2> <p>Para criar números aleatórios faz-se</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> rand();</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula186.gif" width="112" height="20" alt="427419669081" /></div> <p>Isto produz um número inteiro não negativo com não mais do que 12 algarismos. Assim, pode-se criar uma lista de pares de pontos aleatórios do quadrado que tem por vértices (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> lista:=[seq([2*rand()/10^12-1,2*rand()/10^12-1],k=1..1000)]:</span></p> <p>A lista pode ser visualizada fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot(lista,style=point,symbol=cross,scaling=constrained,color=green);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula187.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>ou então</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> pointplot(lista,symbol=cross,scaling=constrained,color=green);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula187.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Como ver quais destes pontos ficam na circunferência unitária? Pode-se fazer</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot_lista:=plot(lista,style=point,symbol=cross,scaling=constrained,<br /> color=green):<br /> circunf:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,xtickmarks=4,<br /> labels=["",""]):<br /> display({circunf,plot_lista});</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula189.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Para definir uma função «por bocados» faz-se, por exemplo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> f:=x->piecewise(x<-1,-1,x>1,1,x);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula191.gif" width="280" height="20" alt="f := proc (x) options operator, arrow; piecewise(x ..." /></div> <p>O seu gráfico é dado por</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot(f(x),x=-3..3);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula192.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula11"></a>Aula nº11</h1> <h2>Uso de números aleatórios (continuação)</h2> <p>Vai-se regressar agora aos pontos aleatórios do quadrado que tem por vértices (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). Dado um tal ponto, como saber se está ou não na circunferência unitária? Basta definir a função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> d:=p->piecewise(p[1]^2+p[2]^2<1,1,0);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula193.gif" width="273" height="29" alt="d := proc (p) options operator, arrow; piecewise(p[..." /></div> <p>e a função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> s:=l->sum(d(l[k]),k=1..nops(l));</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula194.gif" width="155" height="68" alt="s := proc (l) options operator, arrow; sum(d(l[k]),..." /></div> <p>Aplicando isto à lista anterior, obtém-se</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> s(lista);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula195.gif" width="40" height="20" alt="793" /></div> <p>Logo, a probabilidade de um ponto daquela lista pertencer à circunferência unitária é igual a</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">%/1000.;</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula196.gif" width="100" height="20" alt=".7930000000" /></div> <p>Repare-se que a probabilidade de um elemento de uma lista arbitrária pertencer à circunferência unitária é igual a</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> evalf(Pi/4);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula197.gif" width="100" height="20" alt=".7853981635" /></div> <h2>Cálculo simbólico (continuação)</h2> <p>Considere-se o seguinte problema: uma cabra está amarrada por uma corda a um poste localizado na borda de um terreno circular. Qual deverá ser o comprimento da corda que faz com que a cabra tenha acesso exactamente a metade do terreno? Em termos geométricos, o problema pode ser formulado do seguinte modo: dados dois círculos, com o centro do segundo situado na fronteira do primeiro, qual deverá ser o raio do segundo de modo que a área da intercecção dos círculos seja igual a metade da do primeiro? Como só o quociente dos raios conta, vai-se supor que o primeiro círculo é o círculo unitário do plano e que o segundo tem o centro em (0,-1). Vão-se começar por determinar os pontos de intersecção das fronteiras dos círculos. Para isso, definem-se as funções</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">f:=x->-sqrt(1-x^2);</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula111.gif" width="142" height="32" alt="f := proc (x) options operator, arrow; -sqrt(1-x^2)..." /></div> <p>e</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">g:=(x,r)->sqrt(r^2-x^2)-1;</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula112.gif" width="196" height="32" alt="g := proc (x, r) options operator, arrow; sqrt(r^2-..." /></div> <p>Os pontos de intersecção são obtidos resolvendo a equação</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">solve(f(x)=g(x,r),x);</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula113.gif" width="197" height="45" alt="1/2*sqrt(4-r^2)*r, -1/2*sqrt(4-r^2)*r" /></div> <p>É útil definir</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">l:=r->[solve(f(x)=g(x,r),x)][1];</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula114.gif" width="239" height="31" alt="l := proc (r) options operator, arrow; [solve(f(x) ..." /></div> <p>Então a área da intersecção das circunferências é dada por</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">int(g(x,r)-f(x),x=-l(r)..l(r));</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula115.gif" width="752" height="66" alt="1/4*sqrt((-2+r^2)^2)*sqrt(4-r^2)*r+1/4*sqrt(r^4)*sq..." /></div> <p>Para se compreender melhor esta expressão, convém simplificá-la. Para tal vai-se supor que <span class="soft">r</span> é maior do que 0 e menor do que a raiz quadrada de 2, o que se pode justificar geometricamente.</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">assume(0<r,r<sqrt(2));</span></p> <p>Então o integral anterior pode ser simplificado fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">simplify(int(g(x,r)-f(x),x=-l(r)..l(r)));</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula116.gif" width="468" height="45" alt="-1/2*sqrt(4-r^2)*r+r^2*arcsin(1/2*sqrt(4-r^2))+arcs..." /></div> <p>É mesmo possível definir uma função a partir desta expressão fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">h:=unapply(simplify(int(g(x,r)-f(x),x=-l(r)..l(r))),r);</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula117.gif" width="535" height="45" alt="h := proc (r) options operator, arrow; -1/2*sqrt(4-..." /></div> <p>O problema original pode agora ser resolvido fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">fsolve(h(r)=Pi/2,r);</span></p> <div><img src="imagens/mb11/aula118.gif" width="100" height="20" alt="1.158728473" /></div> <h2>Teoria dos números</h2> <p><a name="sec2"></a>Considere-se agora a seguinte função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> t:=n->piecewise(igcd(n,2)=2,n/2,3*n+1);</span></p> <p>Note-se que <span class="soft">igcd</span> é a função que a dois inteiros associa o seu máximo divisor comum.</p> <div><img src="imagens/m20/aula205.gif" width="317" height="45" alt="t := proc (n) options operator, arrow; piecewise(ig..." /></div> <p>Assim, o gráfico de <span class="soft">t</span> pode ser visualizado fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([seq([n,t(n)],n=1..30)],style=point,symbol=circle);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula206.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Para se ver o gráfico da composta de <span class="soft">t</span> consigo própria 6 vezes, pode-se fazer</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([seq([n,(t@@6)(n)],n=1..30)],style=point,symbol=circle);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula207.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula12"></a>Aula nº12</h1> <h2>Teoria dos números (continuação)</h2> <p>Considere-se agora a função</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> ispseudo:=n->piecewise(frac((2^n-2)/n)>0,false,true);</span></p> <div><img src="imagens/m21/aula216.gif" width="380" height="54" alt="ispseudo := proc (n) options operator, arrow; piece..." /></div> <p>Esta função é um teste que determina se, para um dado número natural <span class="mat">n</span>, 2<sup><span class="mat">n</span></sup>-2 é ou não múltiplo de <span class="mat">n</span>. Vejamos o que dá este teste aplicado aos primeiros vinte números naturais.</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">[seq([i,ispseudo(i)],i=1..20)];</span></p> <div class="left"><img src="imagens/mb12/aula121.gif" width="759" height="20" alt="[[1, true], [2, true], [3, true], [4, false], [5, t..." /> <img src="imagens/mb12/aula122.gif" width="687" height="20" alt="[[1, true], [2, true], [3, true], [4, false], [5, t..." /> </div> <p>Há aqui um padrão óbvio: este teste dá «<span class="sl">true</span>» no caso de 1 ou dos números primos e dá «<span class="sl">false</span>» nos restantes casos. Será que é sempre assim? Deduz-se do pequeno teorema de Fermat que, efectivamente, se <span class="mat">n</span> for primo, então 2<sup><span class="mat">n</span></sup>-2 é múltiplo de <span class="mat">n</span>. Será a implicação recíproca verdadeira? É conveniente conhecer a função <span class="soft">if</span>. Por exemplo, se se define</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">f:=n->if n>0 then n else -n end if;</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula224.gif" width="493" height="20" alt="f := proc (n) options operator, arrow; if 0 < n the..." /></div> <p>então tem-se</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">f(3);<br /> f(-4/3);</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula225.gif" width="24" height="20" alt="3" /></div> <div><img src="imagens/m22/aula226.gif" width="24" height="45" alt="4/3" /></div> <p>Para testar se a implicação recíproca é verdadeira, começa-se por definir a função:</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">teste:=n->if ispseudo(n) and not isprime(n) then 1 else 0 end if;</span></p> <div><img src="imagens/mb12/aula123.gif" width="673" height="20" alt="teste := proc (n) options operator, arrow; if ispse..." /> </div> <p>Esta função dá 1 se <span class="mat">n</span> não for primo mas «passar» no teste anterior e dá 0 caso contrário. Quer-se então calcular</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">add(teste(n),n=2..5000);</span></p> <div><img src="imagens/mb12/aula124.gif" width="32" height="20" alt="16" /> </div> <p>Isto mostra que há 16 números compostos <span class="mat">n</span> entre 2 e 5000 tais que 2<sup><span class="mat">n</span></sup>-2 é múltiplo de <span class="mat">n</span>. Quer-se agora ver quais são e quais são as respectivas decomposições em factores primos. Este último aspecto do problema é de solução simples; basta recorrer à função <span class="soft"> ifactor</span>.</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">ifactor(341);</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula221.gif" width="88" height="20" alt="``(11)*``(31)" /></div> <p>Para resolver o problema, faz-se o seguinte: começa-se por uma lista vazia e depois, para cada número <span class="mat">n</span> de 1 a 5000, vê-se se é ou não verdade que não é primo e que passa o teste. Se for este o caso, acrescenta-se à lista o número em questão bem como a sua decomposição em factores primos. Como é que se acrescenta um elemento a uma lista? Recorre-se à função <span class="soft">op</span>, a qual, aplicada a uma lista (ou a um conjunto) fornece a sequência correspondente. Por exemplo, se se define</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">lista:=[1,3,6,10];</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula222.gif" width="141" height="20" alt="lista := [1, 3, 6, 10]" /></div> <p>e se se quer acrescentar 15 a esta lista basta fazer</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">lista:=[op(lista),15];</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula223.gif" width="165" height="20" alt="lista := [1, 3, 6, 10, 15]" /></div> <p>Logo, para resolver o problema proposta basta fazer</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">lista:=[]:<br /> for n from 1 to 5000 do if (ispseudo(n) and not isprime(n)) then lista:=[op(lista),[n,ifactor(n)]] end if end do;<br /> lista;</span></p> <p><img src="imagens/m22/aula227.gif" width="659" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /> <br /><img src="imagens/m22/aula228.gif" width="608" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /><br /> <img src="imagens/m22/aula229.gif" width="758" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /><br /> <img src="imagens/m22/aula2210.gif" width="463" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /></p> <p><a href="ucem0102.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> </body>