Utilização de Computadores no Ensino da Matemática

<body> <div class="tit">Computadores no Ensino da Matemática <br /> Mestrado em Ensino da Matemática <br /> Ano lectivo 2000 — 2001 <br /></div> <div>Podem ser vistos aqui os exames de <a href="PDF/UCEM/ex010623.pdf" target="_parent">23 de Junho</a> e de <a href="PDF/UCEM/ex010716.pdf">16 de Julho</a>, em formato <span class="soft">PDF</span>.</div> <table align="center" cellspacing="10" summary="lista das aulas"> <tr> <td><a href="ucem0001.html#aula1">Aula nº 1</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula2">Aula nº 2</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula3">Aula nº 3</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula4">Aula nº 4</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula5">Aula nº 5</a></td> </tr> <tr> <td><a href="ucem0001.html#aula6">Aula nº 6</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula7">Aula nº 7</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula8">Aula nº 8</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula9">Aula nº 9</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula10">Aula nº10</a></td> </tr> <tr> <td><a href="ucem0001.html#aula11">Aula nº11</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula12">Aula nº12</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula13">Aula nº13</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula14">Aula nº14</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula15">Aula nº15</a></td> </tr> <tr> <td><a href="ucem0001.html#aula16">Aula nº16</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula17">Aula nº17</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula18">Aula nº18</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula19">Aula nº19</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula20">Aula nº20</a></td> </tr> <tr> <td><a href="ucem0001.html#aula21">Aula nº21</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula22">Aula nº22</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula23">Aula nº23</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula24">Aula nº24</a></td> <td><a href="ucem0001.html#aula25">Aula nº25</a></td> </tr> <tr> <td><a href="ucem0001.html#aula26">Aula nº26</a></td> </tr> </table> <h1><a name="aula1"></a>Aula nº1</h1> <p>Problema (para o qual não se espera uma solução rápida): considere-se a seguinte construção, feita com o <a href="http://www.keypress.com/sketchpad/"><span class="soft">Geometer's Sketchpad</span></a>:</p> <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="545" height="444"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="LabelFont" value="Helvetica" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(269,221); {2} Point(88,316)[label('C')]; {3} UnitPoint(1,239.18896484); {4} Segment(2,1)[black]; {5} Origin&Unit(1,3)[hidden,black]; {6} Segment(3,1)[black]; {7} Rotation(3,1,1.57079637)[hidden]; {8} AxisX(5)[black]; {9} AxisY(5)[black]; {10} Coordinates(2,5,115,-12,'Coordinate(Point C): ')[hidden,black]; {11} Point on object(6,0.34263098)[hidden]; {12} Parallel(6,7)[hidden,black]; {13} VectorTranslation(3,1,7)[hidden]; {14} Calculate(115,0,'a = ','#A1')(10)[hidden,suffix(' '),black]; {15} Calculate(115,25,'b = ','#A2')(10)[hidden,suffix(' '),black]; {16} Coordinates(11,5,115,175,'Coordinate(Point F): ')[hidden,black]; {17} Calculate(115,196,'x[Coordinate(Point F)] = ','#A1')(16)[hidden,black]; {18} Calculate(115,262,'r1 = ','A2.0000000000 B*A+2.0000000000 B*A+2.0000000000 ^6.0000000000 B*A*-@sqrt+/')(15,14)[hidden,suffix(' '),black]; {19} Calculate(115,286,'r2 = ','A2.0000000000 B*A+2.0000000000 B*A+2.0000000000 ^6.0000000000 B*A*-@sqrt-/')(15,14)[hidden,suffix(' '),yellow]; {20} Calculate(115,221,'a*x[Coordinate(Point F)] + x[Coordinate(Point F)]*(x[Coordinate(Point F)] - 1) = ','AB*BB1.0000000000 -*+')(14,17)[hidden,black]; {21} Calculate(115,246,'b*x[Coordinate(Point F)] + 2*x[Coordinate(Point F)]^2*(x[Coordinate(Point F)] - 1) = ','AB*2.0000000000 B2.0000000000 ^*B1.0000000000 -*+')(15,17)[hidden,black]; {22} Dilation/MarkedRatio(13,7,18)[hidden]; {23} Dilation/MarkedRatio(13,7,19)[hidden]; {24} PlotXY(21,5,20)[hidden]; {25} Perpendicular(6,22)[hidden,black]; {26} Perpendicular(6,23)[hidden,black]; {27} Locus(24,11,6,1000)[thick,red]; {28} Intersect(25,6)[hidden]; {29} Intersect(26,6)[hidden]; {30} Coordinates(28,5,115,319,'Coordinate(Point H): ')[hidden,black]; {31} Coordinates(29,5,115,415,'Coordinate(Point L): ')[hidden,yellow]; {32} Calculate(115,340,'x[Coordinate(Point H)] = ','#A1')(30)[hidden,black]; {33} Calculate(115,-4,'x[Coordinate(Point L)] = ','#A1')(31)[hidden,yellow]; {34} Calculate(115,365,'a*x[Coordinate(Point H)] + x[Coordinate(Point H)]*(x[Coordinate(Point H)] - 1) = ','AB*BB1.0000000000 -*+')(14,32)[hidden,black]; {35} Calculate(115,390,'b*x[Coordinate(Point H)] + 2*x[Coordinate(Point H)]^2*(x[Coordinate(Point H)] - 1) = ','AB*2.0000000000 B2.0000000000 ^*B1.0000000000 -*+')(15,32)[hidden,black]; {36} Calculate(115,-4,'a*x[Coordinate(Point L)] + x[Coordinate(Point L)]*(x[Coordinate(Point L)] - 1) = ','AB*BB1.0000000000 -*+')(14,33)[hidden,yellow]; {37} Calculate(115,-4,'b*x[Coordinate(Point L)] + 2*x[Coordinate(Point L)]^2*(x[Coordinate(Point L)] - 1) = ','AB*2.0000000000 B2.0000000000 ^*B1.0000000000 -*+')(15,33)[hidden,yellow]; {38} PlotXY(35,5,34)[hidden]; {39} PlotXY(37,5,36)[hidden]; {40} Parallel(4,38)[yellow]; {41} Parallel(4,39)[yellow]; "/> Lastimo, mas esta página exige um <i>browser</i> compatível com Java! </applet> </div> <p>Esta figura ilustra geometricamente o teorema de Cauchy: dadas duas funções reais deriváveis <span class="mat">f</span> e <span class="mat">g</span> de domínio [<span class="mat">a,b</span>], existe (pelo menos) um ponto <span class="mat">c</span> do domínio tal que a recta tangente à curva <span class="mat">(f,g)</span> no ponto <span class="mat">(f(c),g(c))</span> seja paralela ao segmento que une <span class="mat">(f(a),g(a))</span> a <span class="mat">(f(b),g(b))</span>. No entanto, há um problema: se o ponto <span class="sketch">C</span> for «pousado» no eixo dos <span class="mat">xx</span>, não aparece nenhuma tangente naquelas condições, mas deveria aparecer uma. O problema é então o seguinte: «corrigir» o <span class="sl">sketch</span> de modo a fazer com que este defeito desapareça. <span class="enf">Nota:</span> Neste exemplo, tem-se:</p> <ul> <li><p><span class="mat">a=0</span> e <span class="mat">b=1</span>;</p></li> <li><p><span class="mat">f(x)=c<sub>1</sub>x+x(x–1)</span>;</p></li> <li><p><span class="mat">g(x)=c<sub>2</sub>x+2x<sup>2</sup>(x–1)</span>,</p></li> </ul> <p>onde <span class="mat">c<sub>1</sub></span> e <span class="mat">c<sub>2</sub></span> são, respectivamente, a abcissa e a ordenada do ponto <span class="sketch">C</span>.</p> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula2"></a>Aula nº2</h1> <p>Nesta aula, explicou-se como fazer <span class="sl">scripts</span>. Encontra-se <a href="sketchpad/quadrado.gss">aqui</a> um exemplo muito simples: um <span class="sl">script</span> que, dados dois pontos, constrói um quadrado que tem aqueles dois pontos como vértices consecutivos. Este <span class="sl">script</span> pode ser empregue para fazer um <span class="sl">sketch</span> como o de baixo, que permite visualizar o teorema de Pitágoras.</p> <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="596" height="416"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(280,176); {2} Point(259,229); {3} Ray(2,1)[hidden,black]; {4} Rotation(1,2,1.57079637)[hidden]; {5} Rotation(3,1,1.57079637)[hidden,black]; {6} VectorTranslation(4,2,1)[hidden]; {7} Point on object(5,2.51422453); {8} Polygon(4,6,1,2)[green]; {9} Rotation(7,2,1.57079637)[hidden]; {10} Rotation(2,7,1.57079637)[hidden]; {11} Rotation(7,1,1.57079637)[hidden]; {12} Area(8,19,56,'Area(Polygon BAA''''A'') = ')[hidden,yellow]; {13} VectorTranslation(10,7,2)[hidden]; {14} VectorTranslation(11,1,7)[hidden]; {15} Polygon(10,13,2,7)[red]; {16} Polygon(11,14,7,1)[yellow]; {17} Area(15,19,19,'Área vermelha = ')[suffix(' '),black]; {18} Area(16,19,80,'Area(Polygon AEE''''E'') = ')[hidden,yellow]; {19} Calculate(19,42,'Áreas verde e amarela = ','AB+')(12,18)[suffix(' '),black]; " /> </applet> </div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula3"></a>Aula nº3</h1> <p>Nesta aula falou-se do uso do comando <kbd>locus</kbd> para construir objectos geométricos. Esse método permite construir a parábola seguinte:</p> <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="577" height="333"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(196,301); {2} Point(512,301); {3} Point(325,175)[label('foco')]; {4} Line(1,2)[thick,black]; {5} Point on object(4,0.87658226)[hidden]; {6} Perpendicular(4,5)[hidden,black]; {7} Segment(3,5)[hidden,black]; {8} Midpoint(7)[hidden]; {9} Perpendicular(7,8)[hidden,black]; {10} Intersect(9,6)[hidden]; {11} Locus(10,5,4,1000)[thick,red]; " /> </applet> </div> É de mencionar que esta figura, obtida com o <a href="http://www.keypress.com/sketchpad/java_gsp/"><span class="soft">Java Sketchpad</span></a>, é bastante diferente daquela que se obtém com o <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span>, que é a seguinte: <div><img border="1" src="imagens/parabola.jpeg" alt="parábola (Sketchpad)" width="600" height="411" /></div> <p>A figura seguinte, que tem um botão de animação, ilustra o teorema de Tales:</p> <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="459" height="431"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(-60,259); {2} Point(-99,276); {3} Point(-86,196); {4} Point(533,165); {5} Point(-77,165); {6} Point(338,67); {7} Point(393,355)[hidden]; {8} Point(339,399)[hidden]; {9} Point(160,416)[hidden]; {10} Point(86,387)[hidden]; {11} Point(48,48)[hidden]; {12} Point(90,76)[hidden]; {13} Circle(2,1)[black]; {14} Line(4,5)[black]; {15} Segment(7,8)[hidden,black]; {16} Segment(9,10)[hidden,black]; {17} Circle(12,11)[hidden,black]; {18} Point on object(15,0.00000000); {19} Point on object(16,0.76923060); {20} Point on object(17,-1.99467616); {21} Parallel(14,3)[black]; {22} Point on object(13,-1.38838474); {23} AnimateButton(178,33,'Animação')(18,15,19,16,22,13,20,17)(5,3,1,5)(0,0,0,0)(1,0,1,1)[black]; {24} Segment(6,18)[black]; {25} Segment(19,20)[black]; {26} Parallel(21,22)[black]; {27} Intersect(24,26)[label('C''')]; {28} Intersect(21,24)[label('B''')]; {29} Intersect(24,14)[label('A''')]; {30} Intersect(26,25)[label('C')]; {31} Intersect(21,25)[label('B')]; {32} Intersect(25,14)[label('A')]; {33} Distance(27,28,-213,40,'Distance(B'' to C'') = ')[black]; {34} Distance(28,29,-213,20,'Distance(A'' to B'') = ')[black]; {35} Distance(30,31,-213,0,'Distance(B to C) = ')[black]; {36} Distance(31,32,-213,-20,'Distance(A to B) = ')[black]; {37} Calculate(158,382,'AB/A''B''-BC/B''C'' = ','AB/CD/-')(36,34,35,33)[suffix(' '),black]; " /> </applet></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula4"></a>Aula nº4</h1> <p>Nesta aula viu-se com desenhar gráficos de funções com o <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span>. No exemplo que se segue, vê-se o gráfico da função real de variável real que, a cada <span class="mat">x</span>, associa <span class="mat">a</span>.cos(<span class="mat">x</span>)+<span class="mat">b</span>.sen(<span class="mat">x</span>), onde <span class="mat">a</span> e <span class="mat">b</span> são respectivamente a abcissa e a ordenada de um ponto cuja posição pode ser modificada à vontade.</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="648" height="346"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(326,195); {2} Point(437,140)[label('(a,b)')]; {3} UnitPoint(1,38.18896484); {4} Origin&Unit(1,3)[hidden,black]; {5} AxisX(4)[black]; {6} AxisY(4)[black]; {7} Coordinates(2,4,-37,-36,'Coordinate(Point (a,b)): ')[hidden,black]; {8} Calculate(183,22,'a = ','#A1')(7)[suffix(' '),black]; {9} Calculate(183,46,'b = ','#A2')(7)[suffix(' '),black]; {10} Point on object(5,0.47496223)[hidden]; {11} Coordinates(10,4,-37,30,'Coordinate(Point D): ')[hidden,black]; {12} Calculate(-37,50,'x[D] = ','#A1')(11)[hidden,black]; {13} Calculate(-37,74,'a*cos[x[D]] + b*sin[x[D]] = ','AB@cos_*CB@sin_*+')(8,12,9)[hidden,black]; {14} PlotXY(13,4,12)[hidden]; {15} Locus(14,10,5,1000)[black]; " /> </applet></div> <p>Esteve-se também a ver como converter <span class="sl">sketches</span> obtidos com o <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span> em páginas <span class="soft">HTML</span>. Para que as páginas «funcionem» é preciso que esteja colocado no mesmo directório a pasta <kbd>JSP</kbd> que pode ser obtida no <span class="sl">site</span> do <a href="http://www.keypress.com/sketchpad/java_gsp/"><span class="soft">Java Sketchpad</span></a>.</p> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula5"></a>Aula nº5</h1> <p>Nesta aula foi feito em <span class="sl">script</span> com o seguinte objectivo: dados dois pontos <span class="sketch">A</span> e <span class="sketch">B</span> e um número <span class="soft">r</span>, constrói um ponto <span class="sketch">C</span> do recta definida por <span class="sketch">A</span> e por <span class="sketch">B</span> de modo a que <span class="sketch">AC</span>=<span class="soft">r</span><span class="sketch">AC</span> <em>se e só se <span class="soft">r</span> está entre 0 e 1</em>; caso contrário, o <span class="sl">script</span> não deverá produzir nada. Quando se faz um <span class="cl">script</span> é desejável acrescentar-lhe uma descrição da maneira como funciona, como no seguinte exemplo:</p> <div><img border="1" src="imagens/Intermed.jpeg" alt="script Intermed.gss" width="200" height="363" /></div> <p>Registe-se que os <span class="sl">scripts</span> podem ser gravados em formato texto. Aquele que foi acima descrito tem o seguinte aspecto:</p> <pre> Intermed.gss Dados os pontos A e B e o número m1, produz o ponto C do segmento AB t. q. AC/AB=m1, desde que m1 esteja entre 0 e 1. Given: Point A Point B Measurement m1 --------------- Steps: 1. Let [l] = Segment between Point A and Point B. 2. Let [B'] = Image of Point B dilated by scale factor m1 about center Point A. 3. Let [m] = Perpendicular to Segment [l] through Point [B']. 4. Let [C] = Intersection of Segment [l] and Line [m]. </pre> <p>O <span class="sl">sketch</span> que se segue ilustra a propriedade de reflexão das parábolas: um raio luminoso perpendicular à directriz da parábola produz, ao reflectir-se nesta, um raio que passa pelo foco.</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="577" height="333"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(290,302)[label('vértice')]; {2} UnitPoint(1,246.18896484)[hidden]; {3} Rotation(2,1,1.57079637)[hidden]; {4} Origin&Unit(1,2)[hidden,black]; {5} Ray(3,1)[hidden,black]; {6} AxisY(4)[hidden,black]; {7} AxisX(4)[hidden,black]; {8} Point on object(7,0.03914837)[hidden]; {9} Point on object(7,0.89666945)[hidden]; {10} Point on object(5,0.24003449)[label('foco')]; {11} AnimateButton(248,35,'Animação')(8,7)(3)(0)(1)[black]; {12} Coordinates(8,4,-45,189,'Coordinate(Point F): ')[hidden,black]; {13} Coordinates(9,4,-45,110,'Coordinate(Point D): ')[hidden,black]; {14} Coordinates(10,4,-45,68,'Coordinate(Point foco): ')[hidden,black]; {15} Calculate(-45,209,'x[F] = ','#A1')(12)[hidden,black]; {16} Calculate(-45,121,'x = ','#A1')(13)[hidden,suffix(' '),black]; {17} Calculate(-45,79,'a = ','#A2')(14)[hidden,suffix(' '),black]; {18} Calculate(-45,272,'x[F] + 1 = ','A1.0000000000 +')(15)[hidden,black]; {19} Calculate(-45,243,'x[F]^2/(a*4) = ','A2.0000000000 ^B4.0000000000 */')(15,17)[hidden,black]; {20} Calculate(-45,161,'x^2/(4*a) = ','A2.0000000000 ^4.0000000000 B*/')(16,17)[hidden,black]; {21} Calculate(-45,306,'(x[F]^2/(a*4)) + x[F]/(2*a) = ','AB2.0000000000 C*/+')(19,15,17)[hidden,black]; {22} PlotXY(19,4,15); {23} PlotXY(20,4,16)[hidden]; {24} VectorTranslation(22,1,10)[hidden]; {25} PlotXY(21,4,18)[hidden]; {26} Locus(23,9,7,1000)[thick,red]; {27} Ray(24,22)[black]; {28} Line(22,25)[black]; {29} Perpendicular(28,22)[hidden,black]; {30} Reflection(27,29)[black]; " /> </applet> </div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula6"></a>Aula nº6</h1> <p>Nesta aula viu-se como aproveitar o facto de o <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span> não produzir mensagens de erro quando se lhe pede para fazer construções impossíveis (intersecção de rectas paralelas, por exemplo). Segue-se um exemplo do uso desta propriedade; o <span class="sl">sketch</span> que se segue determina o caminho mais curto entre dois pontos <span class="sketch">A</span> e <span class="sketch">B</span> que passa por uma recta dada:</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="431" height="326"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(163,256)[hidden]; {2} Point(611,256)[hidden]; {3} Point(62,158)[label('A')]; {4} Point(310,124)[label('B')]; {5} Line(2,1)[thick,cyan]; {6} Segment(4,3)[hidden,black]; {7} Distance(4,3,19,85,'Distância de A a B = ')[suffix(' '),black]; {8} Intersect(6,5)[hidden]; {9} Reflection(4,5)[hidden]; {10} Segment(9,3)[hidden,black]; {11} Distance(8,3,19,116,'Distance(A to E) = ')[hidden,black]; {12} Distance(4,8,19,136,'Distance(E to B) = ')[hidden,black]; {13} Segment(4,8)[thick,yellow]; {14} Segment(8,3)[thick,yellow]; {15} Intersect(10,5)[hidden]; {16} Calculate(18,66,'O trajecto mínimo é de ','AB+')(11,12)[suffix(' '),black]; {17} Segment(15,3)[thick,yellow]; {18} Segment(4,15)[thick,yellow]; {19} Length(17,19,30,'Length(Segment AG) = ')[hidden,black]; {20} Length(18,19,52,'Length(Segment GB) = ')[hidden,black]; {21} Calculate(18,66,'O trajecto mínimo é de ','AB+')(19,20)[suffix(' '),black]; " /> </applet> </div> <p>Também se esteve a ver como fazer construções recursivas com o comando <kbd>LOOP</kbd>, bem com criar um <span class="sl">script</span> a partir de um <span class="sl">sketch</span> usando o comando <kbd>Make Script</kbd> (ou o comand <kbd>Make Recording Script</kbd>).</p> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula7"></a>Aula nº7</h1> <div class="r"><applet class="r" code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="444" height="371"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(354,303); {2} Point(90,317); {3} Point(316,113); {4} Point(93,99); {5} Dilation(1,2,0.10000000); {6} Dilation(3,1,0.10000000); {7} Dilation(4,3,0.10000000); {8} Dilation(2,4,0.10000000); {9} Segment(8,4)[black]; {10} Segment(5,2)[black]; {11} Segment(6,1)[black]; {12} Segment(7,3)[black]; {13} Dilation(6,5,0.10000000); {14} Dilation(7,6,0.10000000); {15} Dilation(8,7,0.10000000); {16} Dilation(5,8,0.10000000); {17} Segment(16,8)[black]; {18} Segment(13,5)[black]; {19} Segment(14,6)[black]; {20} Segment(15,7)[black]; {21} Dilation(14,13,0.10000000); {22} Dilation(15,14,0.10000000); {23} Dilation(16,15,0.10000000); {24} Dilation(13,16,0.10000000); {25} Segment(24,16)[black]; {26} Segment(21,13)[black]; {27} Segment(22,14)[black]; {28} Segment(23,15)[black]; {29} Dilation(22,21,0.10000000); {30} Dilation(23,22,0.10000000); {31} Dilation(24,23,0.10000000); {32} Dilation(21,24,0.10000000); {33} Segment(32,24)[black]; {34} Segment(29,21)[black]; {35} Segment(30,22)[black]; {36} Segment(31,23)[black]; {37} Dilation(30,29,0.10000000); {38} Dilation(31,30,0.10000000); {39} Dilation(32,31,0.10000000); {40} Dilation(29,32,0.10000000); {41} Segment(40,32)[black]; {42} Segment(37,29)[black]; {43} Segment(38,30)[black]; {44} Segment(39,31)[black]; {45} Dilation(38,37,0.10000000); {46} Dilation(39,38,0.10000000); {47} Dilation(40,39,0.10000000); {48} Dilation(37,40,0.10000000); {49} Segment(48,40)[black]; {50} Segment(45,37)[black]; {51} Segment(46,38)[black]; {52} Segment(47,39)[black]; " /> </applet></div> <p>Foi visto mais um exemplo de uso de um <span class="sl">script</span> recursivo. Neste caso, foram construídas «curvas de perseguição» como aquela que se pode ver ao lado.</p> <p>Esteve-se também a fazer um <span class="sl">script</span> (que pode ser visto <a href="sketchpad/divisao.gss">aqui</a>) que, partindo de dois pontos <span class="sketch">A</span> e <span class="sketch">B</span> e de um número <span class="soft">n</span>, constrói pontos espaçados regularmente entre <span class="sketch">A</span> e <span class="sketch">B</span> de modo que a distância entre dois pontos consecutivos seja a distância entre <span class="sketch">A</span> e <span class="sketch">B</span> dividida por <span class="soft">n</span>.</p> <br clear="all" /> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula8"></a>Aula nº8</h1> <p>Recorrendo ao <span class="sl">script</span> mencionado na aula anterior, esteve-se a fazer um <a href="sketchpad/area_pbl.gsp"><span class="sl">sketch</span></a> que aproxima a área entre uma parábola com o vértice para cima e o eixo dos <span class="mat">xx</span> por uma figura poligonal. O resultado pode ser visto na figura que se segue. Devido às limitações do <span class="soft">Java Sketchpad</span> não será visto o <span class="sl">applet</span> correspondente.</p> <div><img border="1" src="imagens/area_pbl.jpeg" alt="área abaixo da parábola" width="599" height="457" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula9"></a>Aula nº9</h1> <p>Foi visto como completar o <span class="sl">sketch</span> da aula anterior, acrescentando-lhe a soma das áreas dos polígonos.</p> <p>Esteve-se a ver também um exemplo de um <span class="sl">sketch</span> no qual se faz um gráfico associado a uma construção geométrica, como aquele que se pode ver a seguir.</p> <div><applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="582" height="389"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(100,155); {2} Point(305,285)[hidden]; {3} UnitPoint(2,81.18896484)[hidden]; {4} Origin&Unit(2,3)[hidden,green]; {5} Coordinates(1,4,-37,-8,'Coordinate(Point C): ')[hidden,blue]; {6} AxisY(4)[hidden,thick,green]; {7} AxisX(4)[hidden,thick,green]; {8} Parallel(7,1)[black]; {9} Point on object(7,0.73250002)[hidden]; {10} Perpendicular(8,1)[black]; {11} VectorTranslation(9,2,1)[hidden]; {12} Coordinates(11,4,-37,12,'Coordinate(Point D''): ')[hidden,blue]; {13} Circle(1,11)[black]; {14} Calculate(-37,23,'raio = ','#A1#B1-')(12,5)[hidden,suffix(' '),blue]; {15} Point on object(13,-0.38202910); {16} AnimateButton(392,111,'Animação')(15,13)(5)(0)(1)[thick,black]; {17} Coordinates(15,4,-37,74,'Coordinate(Point E): ')[hidden,blue]; {18} Ray(15,1)[black]; {19} Parallel(10,15)[hidden,black]; {20} Angle(11,1,15,-37,-28,'Angle(D''CE) = ')[hidden,black]; {21} Intersect(19,8)[hidden]; {22} Perpendicular(19,15)[hidden,black]; {23} Coordinates(21,4,-37,54,'Coordinate(Point G): ')[hidden,blue]; {24} Segment(21,15)[thick,blue]; {25} Intersect(22,10)[hidden]; {26} Calculate(178,34,'seno = ','#A2#B2-C/')(17,23,14)[suffix(' '),blue]; {27} Coordinates(25,4,-37,94,'Coordinate(Point F): ')[hidden,blue]; {28} Segment(15,25)[thick,blue]; {29} PlotXY(26,4,20)[label('seno')]; {30} Calculate(177,52,'cosseno = ','#A1#B1-C/')(17,27,14)[suffix(' '),blue]; {31} PlotXY(30,4,20)[label('cosseno')]; {32} Locus(29,15,13,1000)[thick,red]; {33} HideButton(392,41,'Esconder seno')(32,29)[thick,red]; {34} ShowButton(392,19,'Mostrar seno')(32,29)[thick,red]; {35} Locus(31,15,13,1000)[thick,green]; {36} HideButton(392,87,'Esconder cosseno')(35,31)[thick,green]; {37} ShowButton(392,65,'Mostrar cosseno')(35,31)[thick,green]; " /> </applet></div> <p><span class="enf">Nota:</span> As linhas horizontais que se ver podem nos gráficos das funções seno e cosseno não aparecem no <span class="sl">sketch</span> e resultam de um <span class="sl">bug</span> do <span class="soft">Java Sketchpad</span>.</p> <p><img class="r" border="1" src="imagens/simbolos.jpeg" alt="símbolos especiais" width="500" height="408" />Esteve-se também a ver como introduzir num <span class="sl">sketch</span> símbolos especiais que normalmente não podem ser obtidos directamente a partir do teclado. Podem-se ver quatro exemplos na imagem ao lado: as letras gregas pi e teta, uma barra horizontal colocada sobre dois símbolos e o símbolo de raiz quadrada.</p> <br clear="all" /> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula10"></a>Aula nº10</h1> <p>Viu-se como construir a epiciclóide:</p> <div> <applet code="GSP.class" archive="jsp4.jar" codebase="JSP" width="471" height="414"> <param name="BackRed" value="208" /> <param name="BackGreen" value="208" /> <param name="BackBlue" value="255" /> <param name="MeasureInDegrees" value="1" /> <param name="DirectedAngles" value="0" /> <param name="Construction" value=" {1} Point(19,53); {2} Point(103,53); {3} Point(18,73); {4} Point(68,73); {5} Point(206,213); {6} Segment(2,1)[black]; {7} Segment(4,3)[black]; {8} VectorTranslation(2,1,5)[hidden]; {9} Circle by radius(5,6)[black]; {10} VectorTranslation(4,3,8)[hidden]; {11} Circle by radius(3,7)[hidden,black]; {12} Circle(5,10)[hidden,black]; {13} Point on object(11,-0.59840387)[hidden]; {14} Point on object(12,-0.26840960); {15} Circle by radius(14,7)[black]; {16} VectorTranslation(13,3,14)[traced]; {17} AnimateButton(15,15,'Animação')(14,12,13,11)(3,3)(0,0)(1,1)[black]; " /> </applet> </div> <p>Para tal, houve dois obstáculos a ultrapassar:</p> <ol> <li><p>Determinar como fazer com que os centros das circunferências se movam à velocidade certa (de modo a transmitir a impressão de que a circunferência móvel rola sem deslizar sobre a fixa). Isto é obtido fazendo com que o botão de animação faça com que o centro da circunferência móvel se desloque ao longo da circunferência (invisível) que tem por centro o centro da circunferência fixa e raio a soma dos raios das duas circunferências.</p></li> <li><p>Rodear a seguinte limitação do <span class="soft">Geometer's Sketchpad</span>: quando se faz uma animação de um ponto ao longo de uma linha, esta deve estar imóvel. Para tal, é construída uma segunda circunferência (invisível) de raio <span class="soft">r</span> e a animação faz com que seja um ponto desta que se move, sendo depois translatado para a circunferência móvel. </p></li> </ol> <p>Também foi visto como criar «custom transformations»: são transformações geométricas obtidas empregando apenas rotações, translações, reflexões e dilatações. Têm a vantagem de poderem ser gravadas e posteriormente reutilizadas fazendo <kbd>Ctrl+1</kbd> para a primeira «custom transformation», <kbd>Ctrl+2</kbd> para a segunda e assim sucessivamente.</p> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula11"></a>Aula nº11</h1> <p>Nesta aula esteve-se a ver como construir páginas em <span class="soft">HTML</span> usando o <span class="soft">Netscape Composer</span>.</p> <h2>Texto e imagens</h2> <p>Foi visto como escrever texto e introduzir diversos efeitos (texto em <span class="enf">negrito</span>, <span class="mat">itálico</span> ou <span class="bl">a piscar</span>). Além disso, viu-se como ir buscar imagens a páginas da Internet e como as introduzir num texto. Finalmente viu-se como introduzir linhas horizontais.</p> <h2>Listas</h2> <p>Foi visto como criar três tipos de listas:</p> <h3>Listas numeradas:</h3> <ol> <li><p>Primeiro artigo</p></li> <li><p>Segundo artigo</p></li> </ol> <h3>Listas não numeradas:</h3> <ul> <li><p>Um artigo</p></li> <li><p>Outro artigo</p></li> </ul> <h3>Listas de definições:</h3> <dl> <dt><span class="enf">Lista numerada</span></dt> <dd>Lista onde aparece um número à esquerda de cada artigo, começando em 1 e aumentando uma unidade de cada vez.</dd> <dt><span class="enf">Lista não numerada</span></dt> <dd>Lista onde aparece um símbolo (sempre o mesmo, geralmente um disco preto ou uma circunferência) à esquerda de cada artigo.</dd> </dl> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula12"></a>Aula nº12</h1> <h2>Links</h2> <p>Esteve-se a ver como criar <span class="sl">links</span> a partir de páginas <span class="soft">HTML</span>. Para tal, basta seleccionar a porção do texto que se quer que seja o <span class="sl">link</span>, carregar no botão <span class="soft">link</span> e escrever a morada da página à qual se quer aceder.</p> <p>Esteve-se também a ver como proceder para criar uma página com pontos para os quais se pode apontar com um <span class="sl">link</span>; por exemplo, no início desta página há <span class="sl">links</span> para o iníco do sumário de cada aula. Uma maneira de saber se uma dada página tem passagens para as quais se pode apontar com um <span class="sl">link</span> consiste em abri-la com o <span class="soft">Netscape Composer</span>, procurar as ocorrências do símbolo em forma de alvo (ou de âncora, para quem estiver a trabalhar com a versão 6 do <span class="soft">Netscape</span>) e, caso haja algum no local que se pretende, clicar com o botão direito do rato para determinar o seu nome. Quem, por exemplo, desejar criar um <span class="sl">link</span> para este sumário e seguir o processo acima indicado, irá descobrir que o nome em questão é «aula12». Basta então criar um <span class="sl">link</span> para:</p> <pre>http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/ucem0001.html#aula12</pre> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula13"></a>Aula nº13</h1> <h2>Imagens de fundo</h2> <p>Esteve-se a ver como acrescentar uma imagem de fundo a um ficheiro <span class="soft">HTML</span>. Acessoriamente, viu-se como o <span class="soft">Paint</span> pode ser empregue para criar uma tal imagem.</p> <h2>Inserção de imagens extraídas do monitor</h2> <p>Se se quer que a página que se está a criar mostre aquilo que se pode ver numa janela aberta no monitor (tal como no sumário da <a href="ucem0001.html#aula3">aula nº3</a>), pode-se gravar no <span class="sl">clipboard</span> o aspecto dessa janela (caso esteja activa) fazendo <kbd>Alt</kbd> + <kbd>Print Scrn</kbd>; em seguida, basta fazer <kbd>Ctrl</kbd> + <kbd>V</kbd> no <span class="soft">Netscape Composer</span> para que a imagem seja convertida num ficheiro <span class="soft">JPEG</span>.</p> <h2>Inserção de <span class="sl">applets</span> de <span class="soft">Java</span></h2> <p>Foi visto como inserir num ficheiro <span class="soft">HTML</span> um <span class="sl">applet</span> de <span class="soft">Java</span> produzido pelo <span class="soft">Java Sketchpad</span>. Há duas maneiras de o fazer:</p> <ul> <li><p>Abrir com o <span class="soft">Netscape Composer</span> a página <span class="soft">HTML</span> criada pelo <span class="soft">Java Sketchpad</span> e, fazendo <kbd>Copy</kbd> + <kbd>Paste</kbd>, passá-lo para o ficheiro que se está a criar.</p></li> <li><p>Abrir com um editor de texto a página <span class="soft">HTML</span> criada pelo <span class="soft">Java Sketchpad</span>, seleccionar a porção de texto onde surge o <span class="soft">applet</span> e copiá-la para o ficheiro que se está a criar.</p></li> </ul> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula14"></a>Aula nº14</h1> Nesta aula, fez-se uma introdução ao <span class="soft">Maple</span>. <h2>Conceitos básicos</h2> <p>Qualquer instrução do <span class="soft">Maple</span> deve terminar com ponto e vírgula (;) ou com dois pontos (:).</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">2+2;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula141.gif" width="24" height="20" alt="4" /></div> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">2+2:</span></p> <p>Em qualquer dos casos, o <span class="soft">Maple</span> executa o comando; a diferença reside no facto de o <span class="soft">Maple</span> só mostrar o resultado obtido se a instrução terminar com ponto e vírgula.</p> <p>O símbolo % designa o resultado da última operação efectuada; %% designa o penúltimo e %%% designa o antepenúltimo.</p> <p>Para se atribuir um valor a uma sequência de caracteres (<span class="mat">abc</span>, por exemplo) escreve-se <span class="mat">abc</span> := seguido do valor pretendido. Por exemplo, para atribuir a <span class="mat">a</span> o valor do último cálculo faz-se:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">a:=%;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula142.gif" width="52" height="20" alt="a := 4" /></div> <p>Acessoriamente, repare-se que isto mostra que o <span class="soft">Maple</span> fez efectivamente o segundo cálculo, embora não tenha mostrado o resultado.</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">b:=2:c:=3:</span></p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">b;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula143.gif" width="24" height="20" alt="2" /></div> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">c;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula144.gif" width="24" height="20" alt="3" /></div> <p>Agora que <span class="enf">a</span>, <span class="enf">b</span> e <span class="enf">c</span> estão definidos, é interessante ver o que se obtém se se faz:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> a:=b:b:=c:c:=a:</span></p> <p>A resposta obtém-se fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> a;b;c;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula145.gif" width="24" height="20" alt="2" /></div> <div><img src="imagens/m14/aula146.gif" width="24" height="20" alt="3" /></div> <div><img src="imagens/m14/aula147.gif" width="24" height="20" alt="2" /></div> <p>Como se pode ver, o resultado <span class="mat">não é</span> uma permutação de <span class="enf"> a</span>, <span class="enf">b</span> e <span class="enf">c</span>.</p> <p>Os nomes das variáveis não estão de modo algum limitados a um único caracter:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> numero:=10;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula148.gif" width="101" height="20" alt="numero := 10" /></div> <p>As funções definem-se do seguinte modo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> f:=x->x*sin(x);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula149.gif" width="123" height="20" alt="f := proc (x) options operator, arrow; x*sin(x) end..." /></div> <h2>Gráficos</h2> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot(f(x),x=0..2*Pi);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1410.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>A derivada de <span class="enf">f</span> representa-se por <span class="enf">D(f)</span>, pelo que os gráficos de <span class="enf">f</span> e de <span class="enf">f'</span> podem ser obtidos simultaneamente fazendo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot({f(x),D(f)(x)},x=0..2*Pi);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1411.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Se se clicar na imagem com o botão direito do rato, obtém-se um menu que permite alterar certas características da imagem. Também é possível descrever certas características ao escrever o comando:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot({f(x),D(f)(x)},x=0..2*Pi,color=[blue,black]);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1412.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <h2>Cálculo simbólico</h2> <p>Considere-se agora a função:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> p:=x->1-x^2;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1413.gif" width="118" height="29" alt="p := proc (x) options operator, arrow; 1-x^2 end pr..." /></div> <p>Quer-se retomar o que foi feito na <a href="ucem0001.html#aula8">aula nº8</a>; para tal define-se:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">a:=(k,n)->-1+2*k/n;</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1414.gif" width="164" height="45" alt="a := proc (k, n) options operator, arrow; -1+2*k/n ..." /></div> <p>Então a área da região poligonal é dada por:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> sum((p(a(k,n))+p(a(k-1,n)))/n,k=1..n);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1415.gif" width="491" height="63" alt="-8*(n+1)/(n^2)-28/3*(n+1)/(n^3)+4*(n+1)^2/(n^2)+8*(..." /></div> <p>Isto pode ser simplificado fazendo:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">simplify(%);</span></p> <div><img src="imagens/m14/aula1416.gif" width="83" height="63" alt="4/3*(-1+n^2)/(n^2)" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula15"></a>Aula nº15</h1> <h2>Cálculo simbólico (continuação)</h2> <p>Seguem-se as últimas instruções da aula anterior</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">p:=x->1-x^2;</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula151.gif" width="118" height="29" alt="p := proc (x) options operator, arrow; 1-x^2 end pr..." /></div> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">a:=(k,n)->-1+2*k/n;</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula152.gif" width="164" height="45" alt="a := proc (k, n) options operator, arrow; -1+2*k/n ..." /></div> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">sum((p(a(k,n))+p(a(k-1,n)))/n,k=1..n);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula153.gif" width="491" height="63" alt="-8*(n+1)/(n^2)-28/3*(n+1)/(n^3)+4*(n+1)^2/(n^2)+8*(..." /></div> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">simplify(%);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula154.gif" width="83" height="63" alt="4/3*(-1+n^2)/(n^2)" /></div> <p>Qual é a área da região entre a parábola e o eixo dos <span class="mat">xx</span>? É dada por</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">int(1-x^2,x = -1 .. 1);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula155.gif" width="24" height="45" alt="4/3" /></div> <p>É de esperar que este valor seja o limite da soma das áreas das figuras poligonais. De facto assim é, conforme se pode verificar fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">limit(%%,n=infinity);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula156.gif" width="24" height="45" alt="4/3" /></div> <p>O <span class="soft">Maple</span> também pode ser empregue para calcular integrais impróprios:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">int(1/x^2,x=1..infinity);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula157.gif" width="24" height="20" alt="1" /></div> <p>bem como primitivas</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">simplify(int(1/(cos(x)^2+4*sin(x)^2),x));</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula158.gif" width="279" height="73" alt="1/2*arctan(tan(1/2*x)/(2+sqrt(3)))-1/2*arctan(tan(1..." /></div> <p>Para se definir esta primitiva como uma função, faz-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">pr:=unapply(%,x);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula159.gif" width="345" height="73" alt="pr := proc (x) options operator, arrow; 1/2*arctan(..." /></div> <p>Isto permite «calcular» o valor do integral da função ao longo do intervalo. De facto, obtém-se um resultado incorrecto:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">pr(2*Pi)-pr(0);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1510.gif" width="24" height="20" alt="0" /></div> <p>Que isto não pode estar certo, resulta de a função só tomar valores positivos. Aliás, o seu gráfico pode ser visto fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">plot(1/(cos(x)^2+4*sin(x)^2),x=0..2*Pi,view=[0..2*Pi,0..1]);</span></p> <p>(a opção «view» é empregue para que os eixos se cruzem em (0,0)).</p> <div><img src="imagens/m15/aula1511.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Repare-se que o <span class="soft">Maple</span> calcula correctamente o integral em questão.</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">int(1/(cos(x)^2+4*sin(x)^2),x=0..2*Pi);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1512.gif" width="26" height="20" alt="Pi" /></div> <p>Isto pode ser calculado numericamente, bastando para tal fazer</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf(%);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1513.gif" width="100" height="20" alt="3.141592654" /></div> <p>ou, caso se queira ver o resultado com (por exemplo) 30 casas decimais</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf(%%,30);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1514.gif" width="260" height="20" alt="3.14159265358979323846264338328" /></div> <p>Muitas vezes, é preciso restringir a um determinado conjunto os valores que uma variável pode tomar. Por exemplo, tem-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">exp(ln(x));</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1515.gif" width="24" height="20" alt="x" /></div> <p>mas</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">ln(exp(x));</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1516.gif" width="57" height="29" alt="ln(exp(x))" /></div> <p>ou até</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">simplify(ln(exp(x)));</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1517.gif" width="57" height="29" alt="ln(exp(x))" /></div> <p>Isto resulta da possibilidade de <span class="mat">x</span> não ser um número real. Se se quer impor que <span class="mat">x</span> seja real escreve-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">assume(x,real);</span></p> <p>Neste caso tem-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">simplify(ln(exp(x)));</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1518.gif" width="33" height="20" alt="x" /></div> <p>O ~ significa que se está a introduzir uma hipótese sobre <span class="mat">x</span>. Se se quer anular essa instrução, faz-se</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">x:='x';</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1519.gif" width="52" height="20" alt="x := 'x'" /></div> <h2>Resolução de equações</h2> <p>Considerem-se as seguintes definições:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">f:=x->x*sin(Pi*x);a:=1/2:b:=5/2:</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1520.gif" width="137" height="20" alt="f := proc (x) options operator, arrow; x*sin(Pi*x) ..." /></div> <p>Quer-se ilustrar o teorema de Lagrange; para tal, é preciso determinar o ponto do intervalo [<span class="mat">a</span>,<span class="mat">b</span>] tal que o declive da recta tangente ao gráfico de <span class="mat">f</span> nesse ponto seja igual ao declive do segmento que une (<span class="mat">a</span>,<span class="mat">f(a)</span>) a (<span class="mat">b</span>,<span class="mat">f(b)</span>).</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">solve(D(f)(x)=(f(b)-f(a))/(b-a),x);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1521.gif" width="305" height="54" alt="1/2, RootOf(sin(_Z)*_Z^2+sin(_Z)+_Z^2-1)/Pi" /></div> <p>O método anterior não é o mais adequado; é preferível recorrer a métodos numéricos.</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">so:=(f,a,b)->fsolve(D(f)(x)=(f(b)-f(a))/(b-a),x,a..b,maxsols=1);</span></p> <p>A última opção garante que se obtém apenas uma solução.</p> <div><img src="imagens/m15/aula1522.gif" width="461" height="45" alt="so := proc (f, a, b) options operator, arrow; fsolv..." /></div> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">so(f,a,b);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1523.gif" width="100" height="20" alt="1.623271644" /></div> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">g:=x->f(so(f,a,b))+(x-so(f,a,b))*(f(b)-f(a))/(b-a);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1524.gif" width="371" height="45" alt="g := proc (x) options operator, arrow; f(so(f,a,b))..." /></div> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">plot([f(x),g(x),[[a,f(a)],[b,f(b)]]],x=a-1..b+1,color=[red,green,blue],<br /> view=[a-1..b+1,-3..3]);</span></p> <div><img src="imagens/m15/aula1525.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula16"></a>Aula nº16</h1> <h2>Sequências e listas</h2> <p>Considere-se a solução da seguinte equação</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">solve(x^3=x,x);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula161.gif" width="62" height="20" alt="0, 1, -1" /></div> <p>Como se pode ver, o resultado é uma sequência de valores separados por vírgulas. Mais geralmente, considere-se a seguinte equação:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">so:=solve(x^3=x+a,x);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula162.gif" width="981" height="132" alt="so := 1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/((108..." /></div> <br /> <div><img src="imagens/m16/aula163.gif" width="797" height="132" alt="so := 1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/((108..." /></div> <br /> <div><img src="imagens/m16/aula164.gif" width="777" height="132" alt="so := 1/6*(108*a+12*sqrt(-12+81*a^2))^(1/3)+2/((108..." /></div> <p>Se se quer saber quais são as raízes quando, por exemplo, <span class="mat">a</span>=2, basta fazer</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">eval(so,a=2);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula165.gif" width="329" height="114" alt="1/6*(216+12*sqrt(312))^(1/3)+2/((216+12*sqrt(312))^..." /></div> <br /> <div><img src="imagens/m16/aula166.gif" width="739" height="114" alt="1/6*(216+12*sqrt(312))^(1/3)+2/((216+12*sqrt(312))^..." /></div> <br /> <div><img src="imagens/m16/aula167.gif" width="735" height="114" alt="1/6*(216+12*sqrt(312))^(1/3)+2/((216+12*sqrt(312))^..." /></div> <p>Em termos numéricos, isto dá</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf(%);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula168.gif" width="516" height="20" alt="1.521379707, -.7606898534+.8578736270*I, -.76068985..." /></div> <p>Um problema com este tipo de respostas reside no facto de que, por vezes, se quer apenas uma solução e não uma sequência delas (tal como na ilustração do teorema de Lagrange). Para obter isso, é conveniente considerar um objecto básico do <span class="soft">Maple</span>: as listas. São sequêncas de expressões enquadradas por parêntesis rectos. Por exemplo:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">lista:=[1,2,4,8,16];</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula169.gif" width="157" height="20" alt="lista := [1, 2, 4, 8, 16]" /></div> <p>Um elemento de uma lista (o terceiro, por exemplo) pode ser obtido fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">lista[3];</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1610.gif" width="24" height="20" alt="4" /></div> <p>e o número total de elementos de uma lista obtém-se com</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">nops(lista);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1611.gif" width="24" height="20" alt="5" /></div> <p>Por exemplo, a soma dos elementos da lista anterior pode ser obtida fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">sum(lista[i],i=1..nops(lista));</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1612.gif" width="32" height="20" alt="31" /></div> <p>Isto pode ser sistematizado, definindo a função:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">soma:=l->sum(l[k],k=1..nops(l));</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1613.gif" width="161" height="68" alt="soma := proc (l) options operator, arrow; sum(l[k],..." /></div> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">soma(lista);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1614.gif" width="32" height="20" alt="31" /></div> <p>Registe-se que existe um comando para produzir sequências:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">seq(2^n,n=0..4);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1615.gif" width="96" height="20" alt="1, 2, 4, 8, 16" /></div> <p>A lista acima definida também poderia ter sido obtida fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">lista:=[%];</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1616.gif" width="157" height="20" alt="lista := [1, 2, 4, 8, 16]" /></div> <p>Voltando à questão das soluções de equações: é agora fácil de ver que a primeira das três soluções da equação anterior se obtém fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">evalf(eval([so][1],a=2));</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1617.gif" width="100" height="20" alt="1.521379707" /></div> <h2>Gráficos (continuação)</h2> <p>Vai-se agora voltar à ilustração geométrica do teorema de Lagrange. Considere-se a definição:</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">Lagrange:=(f,p)->[fsolve(D(f)(x)=(f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1]),<br /> x,p[1]..p[2])][1];</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1618.gif" width="464" height="70" alt="Lagrange := proc (f, p) options operator, arrow; [f..." /></div> <p>Se se definir</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">f:=x->x*sin(x*Pi);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1619.gif" width="137" height="20" alt="f := proc (x) options operator, arrow; x*sin(x*Pi) ..." /></div> <p>então</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">Lagrange(f,[1/2,5/2]);</span></p> <p>produz</p> <div><img src="imagens/m16/aula1620.gif" width="100" height="20" alt="1.623271644" /></div> <p>A função Lagrange também pode ser definida por</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">Lagrange:=(f,p)->fsolve(D(f)(x)=(f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1]),<br /> x,p[1]..p[2],maxsols=1);</span></p> <div><img src="imagens/m16/aula1621.gif" width="525" height="59" alt="Lagrange := proc (f, p) options operator, arrow; fs..." /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula17"></a>Aula nº17</h1> <h2>Gráficos (continuação)</h2> <p>Seja</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">p:=[1/2,5/2];</span></p> <div><img src="imagens/m17/aula171.gif" width="84" height="45" alt="p := [1/2, 5/2]" /></div> <p>Então, fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">plot([f(x),f(Lagrange(f,p))+<br /> (x-Lagrange(f,p))*(f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1]),<br /> [[p[1],f(p[1])],[p[2],f(p[2])]]],x=p[1]-1..p[2]+1,<br /> color=[red,green,blue],view=[p[1]-1..p[2]+1,-3..3]);</span></p> <p>obtém-se</p> <div> <img src="imagens/m17/aula172.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Considere-se agora a seguinte lista de pares de números reais</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">valores:=[seq([1/2-1/k,5/2+1/k],k=1..20)]:</span></p> <p>e a seguinte função.</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">S:=f->seq( plot( [f(x),f(Lagrange(f,p))+(x-Lagrange(f,p))*(f(p[2])-f(p[1]))/(p[2]-p[1]), [[p[1],f(p[1])],[p[2],f(p[2])]]], x=-1/2..7/2,<br /> view=[-1/2..7/2, -2..3],color=[red,green,blue]),p=valores):</span></p> <p>O seguinte comando «carrega» o <span class="sl">package</span> «plots».</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">with(plots):</span></p> <p><span class="enf">Nota:</span> Para se consultar, através do menu <span class="soft">Help</span>, uma das instruções definidas neste package, por exemplo a função <span class="soft">complexplot</span>, é preciso fazer uma busca por «<span class="soft">plots,complexplot</span>».</p> <p>Pode-se agora obter uma animação fazendo</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">display(S(f),insequence=true);</span></p> <div><img src="imagens/m17/aula173.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula18"></a>Aula nº18</h1> <h2>Gráficos (continuação)</h2> <p>Se se omitir a opção da instrução anterior, obtêm-se os gráficos sobrepostos.</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> display(S(f));</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula181.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Como fazer com que o <span class="soft">Maple</span> faça uma circunferência? Há várias maneiras. Uma que é natural, dado o que se acabou de ver, é a seguinte:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> display(plot(sqrt(1-x^2),x=-1..1,scaling=constrained,xtickmarks=4,<br /> labels=["",""]),plot(-sqrt(1-x^2),x=-1..1));</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Matematicamente, é mais natural descrever a circunferências parametricamente, fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,xtickmarks=4,<br /> labels=["",""]);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>ou</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([(t^2-1)/(t^2+1),2*t/(t^2+1),t=-infinity..infinity],<br /> scaling=constrained,xtickmarks=4,labels=["",""]);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Também podem ser empregues coordenadas polares</p> <p><kbd>> </kbd><span class="maple">plot([1,t,t=0..2*Pi],coords=polar,scaling=constrained,xtickmarks=4,<br />labels=["",""]); </span></p> <div><img src="imagens/m18/aula182.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Finalmente, há o recurso às funções definidas implicitamente</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> implicitplot(x^2+y^2=1,x=-1..1,y=-1..1,<br /> scaling=constrained,xtickmarks=4,labels=["",""]);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula185.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <h2>Uso de números aleatórios</h2> <p>Para criar números aleatórios faz-se</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> rand();</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula186.gif" width="112" height="20" alt="427419669081" /></div> <p>Isto produz um número inteiro não negativo com não mais do que 12 algarismos. Assim, pode-se criar uma lista de pares de pontos aleatórios do quadrado que tem por vértices (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> lista:=[seq([2*rand()/10^12-1,2*rand()/10^12-1],k=1..1000)]:</span></p> <p>A lista pode ser visualizada fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot(lista,style=point,symbol=cross,scaling=constrained,color=green);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula187.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>ou então</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> pointplot(lista,symbol=cross,scaling=constrained,color=green);</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula187.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Como ver quais destes pontos ficam na circunferência unitária? Pode-se fazer</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot_lista:=plot(lista,style=point,symbol=cross,scaling=constrained,<br /> color=green):<br /> circunf:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,xtickmarks=4,<br /> labels=["",""]):<br /> display({circunf,plot_lista});</span></p> <div><img src="imagens/m18/aula189.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula19"></a>Aula nº19</h1> <h2>Uso de números aleatórios (continuação)</h2> <p>Para definir uma função «por bocados» faz-se, por exemplo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> f:=x->piecewise(x<-1,-1,x>1,1,x);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula191.gif" width="280" height="20" alt="f := proc (x) options operator, arrow; piecewise(x ..." /></div> <p>O seu gráfico é dado por</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot(f(x),x=-3..3);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula192.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Vai-se regressar agora aos pontos aleatórios do quadrado que tem por vértices (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). Dado um tal ponto, como saber se está ou não na circunferência unitária? Basta definir a função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> d:=p->piecewise(p[1]^2+p[2]^2<1,1,0);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula193.gif" width="273" height="29" alt="d := proc (p) options operator, arrow; piecewise(p[..." /></div> <p>e a função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> s:=l->sum(d(l[k]),k=1..nops(l));</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula194.gif" width="155" height="68" alt="s := proc (l) options operator, arrow; sum(d(l[k]),..." /></div> <p>Aplicando isto à lista anterior, obtém-se</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> s(lista);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula195.gif" width="40" height="20" alt="793" /></div> <p>Logo, a probabilidade de um ponto daquela lista pertencer à circunferência unitária é igual a</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">%/1000.;</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula196.gif" width="100" height="20" alt=".7930000000" /></div> <p>Repare-se que a probabilidade de um elemento de uma lista arbitrária pertencer à circunferência unitária é igual a</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> evalf(Pi/4);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula197.gif" width="100" height="20" alt=".7853981635" /></div> <h2>Gráficos tridimensionais</h2> <p>Quer-se agora criar um cone. Pode-se fazer</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot3d(z,theta=-Pi..Pi,z=-1..1,coords=cylindrical);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula198.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>ou então</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot3d(z,theta=-Pi..Pi,z=-1..1,coords=cylindrical,style=patchnogrid);</span></p> <div><img src="imagens/m19/aula199.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" align="left" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula20"></a>Aula nº20</h1> <h2>Gráficos tridimensionais (continuação)</h2> <p>Quer-se ilustrar como é possível obter as cónicas intersectando um plano com um cone. Considere-se o seguinte cone:</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> cone:=plot3d(z,theta=-Pi..Pi,z=-3/2..3/2,coords=cylindrical,<br /> scaling=constrained,view=[-3/2..3/2,-3/2..3/2,-3/2..3/2]):</span></p> <p>Define-se agora a função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> S:=p->display(plot3d([a,1+b*(p-1),b],a=-3/2..3/2,b=-3/2..3/2,<br /> scaling=constrained,style=patchnogrid,<br /> view=[-3/2..3/2,-3/2..3/2,-3/2..3/2]),cone);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula201.gif" width="726" height="45" alt="S := proc (p) options operator, arrow; display(plot..." /> <br /> <img src="imagens/m20/aula202.gif" width="263" height="45" alt="S := proc (p) options operator, arrow; display(plot..." /></div> <p>e considera-se a lista</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple">lista:=[seq(-2+k/3,k=0..12)];</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula203.gif" width="315" height="45" alt="lista := [-2, -5/3, -4/3, -1, -2/3, -1/3, 0, 1/3, 2..." /></div> <p>A intersecção do plano com o cone pode ser visualizado fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> display([seq(S(c),c=lista)],insequence=true);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula204.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <h2>Teoria dos números</h2> <p><a name="sec2"></a>Considere-se agora a seguinte função</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> t:=n->piecewise(igcd(n,2)=2,n/2,3*n+1);</span></p> <p>Note-se que <span class="soft">igcd</span> é a função que a dois inteiros associa o seu máximo divisor comum.</p> <div><img src="imagens/m20/aula205.gif" width="317" height="45" alt="t := proc (n) options operator, arrow; piecewise(ig..." /></div> <p>Assim, o gráfico de <span class="soft">t</span> pode ser visualizado fazendo</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([seq([n,t(n)],n=1..30)],style=point,symbol=circle);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula206.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p>Para se ver o gráfico da composta de <span class="soft">t</span> consigo própria 6 vezes, pode-se fazer</p> <p><kbd>></kbd> <span class="maple"> plot([seq([n,t(t(t(t(t(t(n))))))],n=1..30)],style=point,symbol=circle);</span></p> <div><img src="imagens/m20/aula207.gif" width="388" height="288" alt="[Maple Plot]" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula21"></a>Aula nº21</h1> <h2>Matrizes</h2> <p>Vai-se ver uma maneira sistemática de criar matrizes. Para já, começa-se por carregar um <span class="sl">package</span></p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">with(linalg):</span></p> <p><span class="mapleb">Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected<br /></span></p> <p>Suponha-se por exemplo, que se quer definir a matriz com 4 linhas e 4 colunas tal que</p> <ul><li>as entradas da diagonal principal são, de cima para baixo, 1, 2, 3 e 4;</li> <li>o valor de uma entrada fora da diagonal principal é o simétrico do número da coluna onde se encontra.</li> </ul> <p>Naturalmente, basta fazer</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> matrix([[1,-2,-3,-4],[-1,2,-3,-4],[-1,-2,3,-4],[-1,-2,-3,4]]);</span></p> <div><img src="imagens/m21/aula211.gif" width="136" height="110" alt="matrix([[1, -2, -3, -4], [-1, 2, -3, -4], [-1, -2, ..." /></div> <p>Será talvez mais natural fazer:</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> matrix(4,4,(i,j)->piecewise(i=j,i,-j));</span> </p> <div><img src="imagens/m21/aula212.gif" width="136" height="110" alt="matrix([[1, -2, -3, -4], [-1, 2, -3, -4], [-1, -2, ..." /></div> <p>Ainda a título de exemplo, quer-se definir a seguinte matriz quadrada com <span class="mat">n</span>+1 linhas e colunas: fora da diagonal, todas as entradas são nulas e as entradas da diagonal são, de cima para baixo, <span class="mat">n</span>, <span class="mat">n</span>-2, <span class="mat">n</span>-4, ..., -<span class="mat">n</span>. Começa-se por definir a função</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> f:=n->(i,j)->piecewise(i=j,n+2-2*i,0);</span></p> <div><img src="imagens/m21/aula213.gif" width="317" height="20" alt="f := proc (n) options operator, arrow; proc (i, j) ..." /></div> <p>Pode-se agora definir a matriz com</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> H:=n->matrix(n+1,n+1,f(n));</span></p> <div><img src="imagens/m21/aula214.gif" width="238" height="20" alt="H := proc (n) options operator, arrow; matrix(n+1,n..." /></div> <p>Tem-se então, por exemplo</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> H(3);</span></p> <div><img src="imagens/m21/aula215.gif" width="136" height="110" alt="matrix([[3, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, -1, 0], ..." /></div> <h2>Teoria dos números (continuação)</h2> <p>Considerem-se agora as seguintes funções</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> ispseudo:=n->piecewise(frac((2^n-2)/n)>0,false,true);<br /> f:=(m,n,k)->piecewise(m=1,n+k,m=2,isprime(n+k),ispseudo(n+k));<br /> m:=k->matrix(3,10,(i,j)->f(i,j,k));</span></p> <p>A primeira desta três funções é um teste que determina se, para um dado número natural <span class="mat">n</span>, 2<sup><span class="mat">n</span></sup>-2 é ou não múltiplo de <span class="mat">n</span>.</p> <div><img src="imagens/m21/aula216.gif" width="380" height="54" alt="ispseudo := proc (n) options operator, arrow; piece..." /></div> <div><img src="imagens/m21/aula217.gif" width="525" height="20" alt="f := proc (m, n, k) options operator, arrow; piecew..." /></div> <div><img src="imagens/m21/aula218.gif" width="277" height="20" alt="m := proc (k) options operator, arrow; matrix(3,10,..." /></div> <p>Então, fazendo</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> m(0);</span></p> <p>obtém-se</p> <div><img src="imagens/m21/aula219.gif" width="456" height="80" alt="matrix([[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], [false, tr..." /></div> <p>e, fazendo</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> m(100);</span></p> <p>obtém-se</p> <div><img src="imagens/m21/aula2110.gif" width="456" height="80" alt="matrix([[101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 10..." /></div> <p>Poder-se-ia pensar que, recorrendo à função <span class="mat">f</span>, se tem um teste de primalidade (que não funciona para <span class="mat">n</span>=1), mas isso não é verdade pois tem-se</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">m(340);</span></p> <div><img src="imagens/m21/aula2111.gif" width="464" height="80" alt="matrix([[341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 34..." /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula22"></a>Aula nº22</h1> <h2>Teoria dos números (continuação)</h2> <p>Considere-se o seguinte problema: determinar quais são os números naturais não superiores a 5000 que não são primos mas que passam o teste da aula anterior e, para cada um destes números, determinar a sua factorização em factores primos. Este último aspecto do problema é de solução simples; basta recorrer à função<span class="soft"> ifactor</span>.</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">ifactor(341);</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula221.gif" width="88" height="20" alt="``(11)*``(31)" /></div> <p>Uma maneira de resolver o problema é a seguinte: começa-se por uma lista vazia e depois, para cada número <span class="mat">n</span> de 1 a 5000, vê-se se é ou não verdade que não é primo e que passa o teste. Se for este o caso, acrescenta-se à lista a lista o número em questão bem como a sua decomposição em factores primos. Como é que se acrescenta um elemento a uma lista? Recorre-se à função <span class="soft">op</span>, a qual, aplicada a uma lista (ou a um conjunto) fornece a sequência correspondente. Por exemplo, se se define</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">lista:=[1,3,6,10];</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula222.gif" width="141" height="20" alt="lista := [1, 3, 6, 10]" /></div> <p>e se se quer acrescentar 15 a esta lista basta fazer</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">lista:=[op(lista),15];</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula223.gif" width="165" height="20" alt="lista := [1, 3, 6, 10, 15]" /></div> <p>Finalmente, é conveniente conhecer a função <span class="soft">if</span>. Por exemplo, se se define</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">f:=n->if n>0 then n else -n end if;</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula224.gif" width="493" height="20" alt="f := proc (n) options operator, arrow; if 0 < n the..." /></div> <p>então tem-se</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">f(3);<br /> f(-4/3);</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula225.gif" width="24" height="20" alt="3" /></div> <div><img src="imagens/m22/aula226.gif" width="24" height="45" alt="4/3" /></div> <p>Logo, para resolver o problema proposta basta fazer</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple">lista:=[]:<br /> for n from 1 to 5000 do if (ispseudo(n) and not isprime(n)) then lista:=[op(lista),[n,ifactor(n)]] else end if end do;<br /> lista;</span></p> <p><img src="imagens/m22/aula227.gif" width="659" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /> <br /><img src="imagens/m22/aula228.gif" width="608" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /><br /> <img src="imagens/m22/aula229.gif" width="758" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /><br /> <img src="imagens/m22/aula2210.gif" width="463" height="20" alt="[[1, 1], [341, ``(11)*``(31)], [561, ``(3)*``(11)*`..." /></p> <h2>Álgebra Linear</h2> <p>Considere-se o seguinte problema: quer-se fazer uma tonelada de farinha a partir de cinco ingredientes: milho, trigo, centeio, arroz e cevada. Suponha-se que estes cereais têm as seguintes características:</p> <ul> <li>milho (m): 3% de gordura, 5% de fibra e 15% de proteínas; preço: 0,05 euros/kg</li> <li>trigo (t): 6% de gordura, 30% de fibra e 5% de proteínas; preço: 0,02 euros/kg</li> <li>centeio (cn): 3% de gordura, 10% de fibra e 40% de proteínas; preço: 0,1 euros/kg</li> <li>arroz (a): 2% de gordura, 35% de fibra e 10% de proteínas; preço: 0,05 euros/kg</li> <li>cevada (cv): 4% de gordura, 25% de fibra e 20% de proteínas; preço: 0,08 euros/kg</li> </ul> <p>Quer-se que a farinha tenha 4% de gordura, 15% de fibra e 15% de proteínas. Qual é a farinha mais barata que se pode fabricar nestas condições? Começa-se por considerar o seguinte sistema de equações:</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> eqs:={3*m+6*t+3*cn+2*a+4*cv=4000,<br /> 5*m+30*t+10*cn+35*a+25*cv=15000,<br /> 15*m+5*t+40*cn+10*a+20*cv=15000,<br /> m+t+cn+a+cv=1000};</span></p> <p><img src="imagens/m22/aula2211.gif" width="582" height="20" alt="eqs := {3*m+6*t+3*cn+2*a+4*cv = 4000, 5*m+30*t+10*c..." /> <br /><img src="imagens/m22/aula2212.gif" width="478" height="20" alt="eqs := {3*m+6*t+3*cn+2*a+4*cv = 4000, 5*m+30*t+10*c..." /></p> <p>Vai-se resolver este sistema de equações relativamente à variável <span class="mat">m</span>.</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> soln:=solve(eqs,{t,cn,a,cv});</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula2213.gif" width="534" height="20" alt="soln := {cn = -5*m+2600, cv = 12*m-5900, t = 2800-5..." /></div> <p>O custo é então dado por</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> custo:=.05*m+.02*t+.1*cn+.05*a+.08*cv:<br /> subs(soln,custo);</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula2214.gif" width="105" height="20" alt=".26*m-81.00" /></div> <p>Naturalmente, todas as variávais têm que tomar valores não negativos, o que leva à consideração dos seguintes cálculos auxiliares:</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> evalf(1500/3);evalf(2800/5);evalf(5900/12);evalf(2600/5);</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula2215.gif" width="44" height="20" alt="500." /></div> <div><img src="imagens/m22/aula2216.gif" width="44" height="20" alt="560." /></div> <div><img src="imagens/m22/aula2217.gif" width="100" height="20" alt="491.6666667" /></div> <div><img src="imagens/m22/aula2218.gif" width="44" height="20" alt="520." /></div> <p>Vê-se então que <span class="mat">m</span> tem que estar situado entre 5900/3 e 500. Este facto e a determinação do custo feita acima mostra que a resposta ao problema é dada por</p> <p><kbd>> </kbd> <span class="maple"> subs(m=5900/12,subs(soln,custo));</span></p> <div><img src="imagens/m22/aula2219.gif" width="92" height="20" alt="46.8333333" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula23"></a>Aula nº23</h1> <h2>Criação de página <span class="soft">HTML</span> usando o <span class="soft">Maple</span></h2> <p>É possível guardar aquilo que foi feito numa sessão do <span class="soft">Maple</span> no formato <span class="soft">HTML</span>; basta ir ao menu <span class="soft">File</span> e fazer <span class="soft">Export As</span>, escolhendo depois a opção <span class="soft">HTML</span>.</p> <p>É conveniente haver texto além de instruções e cálculos do <span class="soft">Maple</span>, tal com nos sumários anteriores a este. Para se acrescentar texto acima de uma linha de <span class="sl">input</span> do <span class="soft">Maple</span> coloca-se o cursor nessa linha e faz-se <span class="soft">Ctrl+Shift+K</span>; para que o texto fique abaixo, faz-se <span class="soft">Ctrl+Shift+J</span>.</p> <h2>Introdução ao Scientific WorkPlace</h2> <p>Esteve-se a fazer uma introdução ao uso do <a href="http://www.mackichan.com/products/swp.html"><span class="soft">Scientific WorkPlace</span></a>: criação de gráficos, definição de funções, distinção entre texto normal e texto matemático, como colocar título e autor num texto, etc.</p> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula24"></a>Aula nº24</h1> <p>Esteve-se a trabalhar com figuras. Mais precisamente, esteve-se a ver como:</p> <ul> <li><p>colocar legendas;</p></li> <li><p>numerar automaticamente as figuras;</p></li> <li><p>fazer um «cross-reference» para uma figura;</p></li> <li><p>controlar a localização da figura.</p></li> </ul> <p>Esteve-se também a ver como fazer com que as palavras criadas automaticamente pelo <span class="soft">Scientific WorkPlace</span> sejam em português. Por um lado, é preciso carregar o <span class="sl">package</span> babel e escolher como opção a língua portuguesa. É também preciso ir ao menu <span class="soft">Typeset</span>, escolher <span class="soft">Preamble</span> e, fazer algumas alterações na janela que se abre então, que tem o seguinte conteúdo:</p> <pre> \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} </pre> <p>É preciso substituir as palavras que começam com uma letra maiúscula (Theorem, Acknowledgement, etc) pela sua tradução portuguesa. Se se quer que os teoremas, corolários, lemas, etc tenham numerações independentes, então devem-se eliminar também os «[theorem]».</p> <p>Também se viu como criar um índice bem como fazer «cross-references» para teoremas.</p> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula25"></a>Aula nº25</h1> <p>Esteve-se a ver como ter vários gráficos sobrepostos numa mesma figura e como fazer com que tenham cores distintas. Também se viu como definir funções com várias expressões, como é o caso da função <span class="soft">t</span> que já tinha sido definida na <a href="ucem0001.html#sec2">aula nº20</a>.</p> <p>Viu-se também como converter um ficheiro produzido pelo <span class="soft">Scientific WorkPlace</span> num ficheiro <span class="soft">PDF</span>. Para isso, é preciso «imprimir» o ficheiro (a partir do <span class="soft">TrueTeX Previewer</span>). É preciso que as opções da impressora fiquem do seguinte modo:</p> <div><img src="imagens/printer.jpeg" width="439" height="327" alt="configuração da impressora" /></div> <p><span class="enf">Nota importante: </span>É preciso não esquecer que se deve seleccionar a opção «<span class="soft">Print to File</span>». O objectivo <span class="enf">não é</span> efectivamente imprimir o ficheiro. Também é preciso não esquecer de seleccionar a impressora «HP LaserJet 4Si/4Si MX PS».</p> <p>Abre-se depois uma janela que pede o nome do ficheiro a ser criado; é preferível que tenha a terminação <span class="soft">ps</span>; caso essa janela não apareça, procure um novo ficheiro (com um nome do tipo <span class="soft">File~2m</span>) no mesmo directório onde está o ficheiro que abriu com o <span class="soft">Scientific WorkPlace</span>. Esse ficheiro deve depois ser aberto com o <span class="soft">GSView</span> e seguidamente deve ser «impresso» com a seguinte configuração:</p> <div><img src="imagens/gsview.jpeg" width="417" height="349" alt="configuração da impressora" /></div> <p><span class="enf">Nota importante: </span>Mais uma vez, é preciso não esquecer que se deve seleccionar a opção «<span class="soft">Print to File</span>».</p> <p>Finalmente, deve-se dar um nome ao ficheiro assim obtido, de preferência usando a terminação <span class="soft">pdf</span>.</p> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> <h1><a name="aula26"></a>Aula nº26</h1> <p>Viu-se que a vantagem de converter no formato <span class="soft">PDF</span> um ficheiro produzido pelo <span class="soft">Scientific WorkPlace</span> reside no facto de de este depois poder ser aberto com um <span class="sl">browser</span>. Pode ser visto aqui um <a href="PDF/UCEM/aula.pdf" target="_blank">exemplo de um tal ficheiro</a>.</p> <p>Esteve-se também a ver como criar uma bibliografia.</p> <p>Finalmente, viu-se como transportar para uma página <span class="soft">HTML</span> uma fórmula matemática criada com o <span class="soft">Scientific WorkPlace</span>, tal como a seguinte:</p> <div><img src="imagens/formula.jpeg" width="452" height="122" alt="fórmula" /></div> <p><a href="ucem0001.html"><img src="imagens/blue-back.jpeg" alt="seta para cima" width="20" height="23" border="2" /></a><span class="legend">Voltar ao princípio.</span></p> </body>