Quadratriz de Hípias

A linha vermelha da figura abaixo designa-se por quadratriz de Hípias. Foi estudada pela primeira vez por Hípias de Élida, por volta de 420 aC.

Mova o ponto P1 para ver o ponto P a percorrer a quadratriz.

Construção da quadratriz

A quadratriz de Hípias é obtida a partir de dois pontos A e B do seguinte modo:

  1. considera-se o segmento de recta AB;
  2. considera-se também um quarto da circunferência c de centro B e que passa por A, sendo esse quarto escolhido de modo a que A seja um dos seus extremos;
  3. considera-se um ponto P1 a percorrer o segmento AB a uma velocidade uniforme partindo de A e um ponto P2 a percorrer o quarto de circunferência a uma velocidade uniforme partindo também de A, sendo as velocidades tais que P1 e P2 cheguem ao fim ao mesmo tempo;
  4. considera-se a recta perpendicular ao segmento AB que passa por P1;
  5. considera-se a semi-recta com origem em B que passa por P2;
  6. seja P o ponto de intersecção das duas linhas anteriores.

Então a quadratriz de Hípias é a curva percorrida por P quando P1 e P2 se movem nas condições atrás descritas.

Trissecção do ângulo

A quadratriz de Hípias é uma trissectriz, isto é, permite efectuar a trissecção de qualquer ângulo agudo. Com efeito, dado um ponto P da quadratriz é fácil encontrar um ponto Q da quadratriz tal que o ângulo ∠ABQ tenha um terço da amplitude do ângulo ∠ABP. Basta, pela definição da quadratriz, encontrar o ponto Q1 do segmento AB cuja distância a A seja um terço da distância de P1 a A, que é algo que se pode fazer com régua e compasso. A intersecção da recta perpendicular a AB que passa por Q1 com a trissectriz dá o ponto Q.

Analogamente, a quadratriz de Hípias permite dividir qualquer ângulo agudo em qualquer número de ângulos congruentes entre si.

Quadratura do círculo

Quando P1 e P2 tendem para o fim das linhas que percorrem, P tende para o ponto H. Este não pertence propriamente à quadratriz, pois quando P1 é igual a B e P2 é o ponto final do quarto de circunferência, a intersecção da recta e da semi-recta mencionadas na definição da quadratriz não se reduz a um ponto. Por outro lado, a distância de B a H é igual à distância de B a A multiplicada por 2⁄π. Isto permite fazer a quadratura do círculo limitado por c.

A quadratriz como gráfico de função

Supondo que, como na construção acima, o segmento AB é horizontal, então, como cada recta vertical que passa por um ponto de AB (com a excepção de A) intersecta a quadratriz num e num só ponto, a quadratriz é o gráfico de uma função. De facto, se A = (1,0), se B = (0,0) e se o quarto de circunferência for escolhido de modo a unir A a (0,1), então a quadratriz é o gráfico da função f de ]0,1] em R definida por f(x) = x cot(πx⁄2). Isto pode ser justificado do seguinte modo: se P1 = (x,0), então P1 percorreu uma proporção 1 − x do segmento AB e, portanto,

P2=(cos((1 − x)π⁄2),sen((1 − x)π⁄2))
=(sen(πx⁄2),cos(πx⁄2))

Então P = (x,y), com y ∈ R de modo a que P esteja na recta que passa pela origem e por P2, ou seja, pela recta que passa na origem e cujo declive é cot(πx⁄2). Logo, y = x cot(πx⁄2).

Data da última actualização deste documento: 2012–05–05

Autor: José Carlos Santos

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