Introdução

Em R³, seja B a bola fechada de centro na origem e raio π. A cada v ∈ B faz-se corresponder uma rotação em R³ do seguinte modo:

• se v = (0,0,0), a rotação correspondente é a identidade;
• caso contrário, a rotação correspondente é uma rotação de ângulo ||v|| (medido em radianos) em torno da recta definida por v e pela origem. Há exactamente uma rotação nestas condições caso ||v|| = π. Nos restantes casos há duas rotações naquelas condições (que são inversas uma da outra) e está-se a fazer referência à rotação r para a qual, para algum vector w perpendicular a v, o tripleto (v,w,r(w)) tem a mesma orientação que a base canónica.

A função de B no grupo das rotações de R³ em torno de um eixo que passa pela origem (ou seja, o grupo SO(3,R)) assim definida é sobrejectiva. Para mais, dois pontos distintos de B só correspondem à mesma rotação quando estiverem na superfície de B e, além disso, estiverem situados na antípoda um do outro.

Exemplos

A imagem que se pode ver abaixo (um applet de Java) foi obtida a partir de duas rotações m e n, de ordens 5 e 4 respectivamente e com eixos de rotação perpendiculares. Os pontos que se podem ver na bola B correspondem às rotações do tipo m^pn^qm^rn^s, com p,q,r,s ∈ Z, bem como os seus inversos. Os pontos vermelho e azul correspondem às rotações m e n respectivamente. Convém ter em mente que um par de pontos antipodais na superfície da esfera corresponde a uma única rotação. De facto, a figura tem 141 pontos, que correspondem a 132 rotações: 123 pontos do interior de B correspondem a uma rotação cada e 18 pontos da superfície de B correspondem às restantes 9 rotações.

A imagem seguinte foi obtida por um processo análogo, mas a partir de duas rotações m e n de ordens 6 e 3 e com eixos de rotação a formarem um ângulo de π/4 radianos. Esta figura tem 301 pontos, que correspondem a 298 rotações.

Densidade

Esta imagem sugere que m e n geram um subgrupo denso em SO(3,R) e, de facto, assim é. Mais geralmente, quase quaisquer duas rotações de ordem finita em torno de dois eixos distintos geram um subgrupo denso de SO(3,R). Mais precisamente, se m e n forem rotações de ordem finita e superior a 1 em torno de dois eixos distintos então, a menos que alguma das rotações tenha ordem 2 e que os eixos de rotação sejam perpendiculares, só há um número finito de casos (a menos de conjugação em SO(3,R)) em que o grupo gerado por m e por n é finito e, fora esses casos, aquele grupo é necessariamente denso em SO(3,R).

O que é que leva a haver somente um número finito de casos, a menos de conjugação em SO(3,R), em que o grupo gerado por duas rotações de ordem finita em torno de dois eixos distintos é finito (excepto se os eixos forem perpendiculares e alguma das rotações for de ordem 2)? É claro que o grupo gerado por tais rotações não preserva nenhum plano. Ora acontece que, a menos de conjugação em SO(3,R), só há três grupos finitos de rotações do SO(3,R) que não preservam nenhum plano. O mais pequeno destes grupos (tem ordem 12) é o grupo das rotações de um tetraedro regular:

A seguir temos o grupo das rotações de um cubo (ou de um octaedro regular, o que vem dar ao mesmo), que tem ordem 24:

Este grupo tem um subgrupo isomorfo ao grupo anterior, por razões explicadas aqui.

Finalmente, há o grupo das rotações de um dodecaedro regular (ou de um icosaedro regular, o que vem dar ao mesmo), que tem ordem 60:

Data da última actualização deste documento: 2006–10–01

Autor: José Carlos Santos