Demonstração analítica

É natural hoje em dia demonstrar que a ciclóide é uma curva tautócrona por via analítica. A primeira demonstração analítica deve-se a Jacob Bernoulli e foi publicada em 1690 na Acta eruditorum, no mesmo texto onde surge pela primeira vez o termo «integral» no seu sentido actual.

Seja \(c=(x,y)\) uma curva que representa um declive ao longo do qual desliza, sob a acção da gravidade e partindo da velocidade nula, um objecto. Então, se \(t_0\) e \(t_1\) estiverem no domínio de \(c\) e se \(t_0<t_1\), o tempo que o objecto leva a deslizar de \(c(t_0)\) até \(c(t_1)\) é dado por\[\int_{t_0}^{t_1}\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{\sqrt{2g\times(y(t_0)-y(t))}}\,dt,\]onde \(g\) é a aceleração da gravidade. Se virmos \(c(t)\) como a posição de uma partícula no instante \(t\), então tanto o numerador como o denominador da expressão anterior representam a velocidade escalar da partícula, embora em função de parâmetros diferentes:

• o numerador é a velocidade escalar no instante \(t\);
• o denominador é a velocidade escalar quando o objecto atinge a altura \(y(t)\).

Caso \(c\) descrevesse não somente a curva ao longo da qual o objecto desliza mas o próprio movimento do objecto, então o numerador seria igual ao denominador, pelo que o valor do integral seria então \(t_1-t_0\).

No caso da ciclóide gerada por uma roda de raio \(1\), pode-se tomar \(c(t)=(t-\mathop{\mathrm{sen}}(t)),-1+\cos(t))\), com \(t\in[0,\pi]\).

Nesta construção, C é um ponto da forma \((t,-1)\), com \(t\in[0,\pi]\). Movendo C, pode-se ver o ponto \((t-\mathop{\mathrm{sen}}(t)),-1+\cos(t))\) a percorrer metade da ciclóide.

Então:

• \(0\le t_0<\pi\);
• \(t_1=\pi\);
• o numerador da fracção anterior é igual a \(\sqrt{(1-\cos(t))^2+\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits^2(t)}\left(=\sqrt{2-2\cos(t)}\right)\).
• o denominador é igual a \(\sqrt{2g}\sqrt{\cos(t_0)-\cos(t)}\).

O tempo de descida é\[\frac1{\sqrt g}\int_{t_0}^\pi\frac{\sqrt{1-\cos(t)}}{\sqrt{\cos(t_0)-\cos(t)}}\,dt,\]mas este integral é difícil de calcular directamente, pelo que se vão primeiro fazer algumas simplificações, que usam o facto de se ter, para cada \(x\in\mathbb{R}\),\[\cos(x)=2\cos\left(\frac x2\right)^2-1=1-2\mathop{\mathrm{sen}}\left(\frac x2\right)^2.\]Resulta daqui que\[\begin{align*}\sqrt{2-2\cos(t)}&=\sqrt{4\mathop{\mathrm{sen}}\nolimits^2\left(\frac t2\right)}\\ &=2\mathop{\mathrm{sen}}\left(\frac t2\right)\end{align*}\]e que \(\sqrt{2g}\sqrt{\cos(t_0)-\cos(t)}=2\sqrt g\sqrt{\cos^2\left(\frac{t_0}2\right)-\cos^2\left(\frac t2\right)}\). O integral anterior é então igual a\[\frac1{\sqrt g}\int_{t_0}^\pi\frac{\mathop{\mathrm{sen}}\left(\frac t2\right)}{\sqrt{\cos^2\left(\frac{t_0}2\right)-\cos^2\left(\frac t2\right)}}\,dt.\]Para se calcular este integral, é natural fazer a substituição \(u=-\cos\left(\frac t2\right)\) e \(du=\frac12\mathop{\mathrm{sen}}\left(\frac t2\right)\,dt\), obtendo-se então o integral\[\frac 2{\sqrt g}\int_{-\cos\left(\frac{t_0}2\right)}^0\frac{du}{\sqrt{\cos^2\left(\frac{t_0}2\right)-u^2}},\]que se calcula facilmente:\[\begin{align*}\frac2{\sqrt g}\int_{-\cos\left(\frac{t_0}2\right)}^0\frac{du}{\sqrt{\cos^2\left(\frac{t_0}2\right)-u^2}}&=\frac2{\sqrt g}\left[\mathop{\mathrm{arcsen}}\left(\frac u{\cos\left(\frac{t_0}2\right)}\right)\right]_{u=-\cos\left(\frac{t_0}2\right)}^{u=0}\\ &=\frac2{\sqrt g}\bigl(\mathop{\mathrm{arcsen}}(0)-\mathop{\mathrm{arcsen}}(-1)\bigr)\\ &=\frac2{\sqrt g}\cdot\frac\pi2\\ &=\frac\pi{\sqrt g}.\end{align*}\]

Data da última actualização deste documento: 2012–09–28

Autor: José Carlos Santos