Vai-se começar por ver como resolver o problema de Apolónio dados três pontos.
O caso em que são dados dois pontos P1 e P2 do plano e o ponto ∞ é muito simples. Há exactamente uma solução, que é a recta definida pelos pontos P1 e P2.
Nota: Tanto nesta como nas construções que se seguem, aquilo que se pode ver acima não é uma imagem estática. Todos os objectos negros (pontos, rectas ou circunferências) podem ser deslocados usando o botão esquerdo do rato.
O caso em que são dados três pontos P1, P2 e P3 do plano também é muito simples. Também há exactamente uma solução, que é a circunferência que passa por P1, P2 e P3, excepto, é claro, no caso em que os três pontos são colineares; a única solução é então a recta que passa pelos três.
O centro da circunferência pode ser construído recorrendo ao facto de ter de pertencer à recta perpendicular ao segmento que une quaisquer dois pontos Pi distintos e que passa pelo respectivo ponto médio.
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