Sistemas de equações lineares. Matrizes. Determinantes. Aplicações à Geometria Analítica no plano e no espaço. Espaços vectoriais. Aplicações lineares. Produto interno em Rn. Ortogonalização de uma base. Diagonalização de matrizes. Potências de matrizes. Projecções, simetrias e rotações em R2 .
Funções multilineares simétricas e alternadas. Função determinante. Produtos internos. Subespaços ortogonais. Suplementar ortogonal. Projecção ortogonal. Geometria analítica euclidiana. Formas hermitianas. Diagonalização de uma matriz simétrica. Matrizes ortogonais. Matrizes unitárias. Os grupos clássicos O(n), SO(n), U(n), SU(n) para n igual a 2 ou 3. Classificação das formas quadráticas. Método dos menores principais. Forma canónica de Jordan para matrizes de ordem 2 e 3.
Pré-requisitos: Álgebra Linear e Geometria Analítica I
Introdução ao Maxima: utilização interactiva e programação; construção de polígonos regulares no plano por relações de recorrência; isometrias do plano (rotações, reflexões, translações). Teorema fundamental do cálculo; gráficos das funções elementares de variável real. propriedades dos gráficos de funções definidas a partir das funções elementares por operações de composição com uma transformação afim no domínio ou na imagem. Curvas parametrizadas no plano em coordenadas cartesianas e coordenadas polares: vector velocidade de uma trajectória, pontos regulares e singulares; equação da recta tangente a uma curva parametrizada num ponto regular; pontos de reversão; comprimento de arco; áreas em coordenadas polares. Formas quadráticas em IR2 e IR3, cónicas e quádricas não degeneradas: representação de uma forma quadrática como matriz simétrica; diagonalização da matriz que representa uma forma quadrática, valores próprios e vectores próprios; classificação das cónicas e quádricas não degeneradas. Funções de duas variáveis: gráficos; curvas de nível; vector gradiente; pontos críticos; Teorema de Taylor; Lema de Morse; comportamento na vizinhança de um ponto crítico não degenerado. Integral sobre um rectângulo de uma função contínua de duas variáveis; alguns critérios de integrabilidade para funções de duas variáveis sobre domínios limitados do plano.
Pré-requisitos: Introdução à Programação e Calculo Infinitesimal I
Sucessões e séries numéricas; critérios de convergência. Limites e continuidade de funções reais de variável real. Cálculo diferencial; derivadas; extremos locais; primitivação. Cálculo integral; integral de Riemann e as suas propriedades básicas; métodos de integração; mudança de variável; integrais impróprios. Séries de Taylor. As funções exponencial e trigonométricas e as suas inversas.
Espaços vectoriais com produto interno; ortogonalidade; diagonalização. Cónicas e quádricas. Curvas parametrizadas; velocidade e aceleração; fórmulas de Frenet; Cálculo diferencial de funções vectoriais de variável vectorial; extremos. Integrais múltiplos; propriedades básicas e métodos de cálculo; mudança de variável.
Pré-requisitos: Conhecimentos básicos ao nível do Cálculo Infinitesimal para funções reais de uma variável real (Cálculo Infinitesimal I); Conhecimentos básicos ao nível de Álgebra Linear (Álgebra Linear e Gometria Analítica I).
Fundamentos da geometria euclidiana plana. Semelhança de triângulos. Circunferências e funções trigonométricas. Pontos notáveis do triângulo. Coordenadas no plano. Estrutura vectorial de IR2. Cónicas. Transformações geométricas.
Introdução aos computadores: hardware e software, sistemas de operação e Internet. Introdução às linguagens de programação. Dados e representações. Operações aritméticas elementares. Variáveis e atribuição. Expressões e instruções; operadores e operandos; prioridades. Definição de procedimentos simples. Ficheiro de código fonte; módulos; linguagens compiladas e interpretadas. Âmbito de variáveis; variáveis locais e globais. Execução condicional. Ciclos. Fluxo da execução de um programa. Manipulação de sequências de caracteres. Entrada e saída de dados; criação, escrita, e leitura de ficheiros. Estruturas homogéneas de dados: listas/vectores/matrizes. Utilização de bibliotecas. Desenvolvimento, correcção e eficiência de algoritmos. Resolução de problemas utilizando o computador.
Análise dimensional e unidades. Sistemas de coordenadas, velocidade, aceleração. Leis de Newton e aplicações. Trabalho e energia. Momento linear, força e impulso. Equilíbrio de sólidos, momento angular e momento de inércia. Movimento de sistemas de partículas, colisões. Gravitação e órbitas. Sistemas de referência. Relatividade de Galileu. Relatividade restrita.
Tratamento analítico e numérico de: equações diferenciais ordinárias, retratos de fase, estabilidade. Exemplos: desintegração radioactiva; populações com ou sem crescimento limitado; sistemas mecânicos; circuitos eléctricos; sistemas predador-presa; modelos de epidemias. Iteração de sistemas lineares, valores e vectores próprios: matrizes de Lesley; modelos para populações; aquacultura. Equações diferenciais parciais e séries de Fourier: equações do calor, da onda e de Laplace.
Pré-requisitos: 1 semestre de Cálculo e/ou Álgebra Linear
Cálculo proposicional. Quantificação. Teoria ingénua de conjuntos. Funções e relações. Números naturais. Números complexos. Métodos de contagem. Noções elementares de cardinalidade.
Noções e resultados básicos de Teoria dos Grupos. Grupos de permutações, grupos de simetrias e grupos de isometrias do plano e do espaço euclideanos. Noções e resultados básicos de Teoria dos Anéis. Anéis de polinómios com coeficientes num corpo. Divisibilidade em anéis comutativos e domínios de factorização única.
Pré-requisitos: Esta cadeira não tem pré-requisitos específicos, no entanto é necessário capacidade de raciocínio matemático desenvolvido nas cadeiras de matemática do primeiro ano.
Introdução às funções holomorfas de uma variável complexa, aos teoremas fundamentais da análise complexa numa variável, e à representação em série de Fourier de funções de variável real periódicas com valores complexos.
Pré-requisitos: Cálculo Infinitesimal (I e II)
Teoria dos erros numéricos, calculo numérico da soma de uma série, resolução numérica de uma equação não linear, resolução numérica directa e iterativa de um sistema de equações lineares, calculo do polinómio interpolador, aproximação de funções empíricas e contínuas no sentido dos mínimos quadrados por polinómios algébricos e generalizados, calculo numérico de derivadas e integrais e resolução numérica de equações diferenciais. Em cada tema, efectua-se o estudo de condições suficientes para a convergência dos métodos, controlo de erros, construção de algoritmos, sua implementação e experimentação em máquina de calcular e em computador, testes e interpretação de resultados.
Pré-requisitos: Introdução à Programação e Calculo Infinitesimal I e II.
Teorema da função inversa e da função implícita. Aplicações. Teorema do ponto fixo de Banach. Polinómio de Taylor, máximos e mínimos locais e condicionados para funções de n variáveis. Campos de vectores. Integrais de linha e de superfície. Teoremas de Green, Stokes e Divergência de Gauss.
Pré-requisitos: Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II, Cálculo Infinitesimal I e II.
Equações diferenciais ordinárias (e.d.o.s) de 1ª ordem (lineares, separáveis e exactas); teorema da existência e unicidade de solução; método de Euler para a integração numérica de e.d.o.s. Aplicação das e.d.o.s de 1ª ordem à datação por isótopos radioactivos, ao crescimento de populações, misturas, arrefecimento e trajectórias ortogonais. Sistemas de e.d.o.s de 1ª ordem: sistemas lineares homogéneos coeficientes constantes; estudo qualitativo de sistemas lineares 2 x 2; estabilidade pontos de equilíbrio de sistemas lineares e não lineares; modelo predador-presa de Volterra-Lotka. E.d.o.s lineares de 2ª ordem: solução geral das equações homogéneas e construção de soluções particulares de equações não homogéneas; método das transformadas de Laplace; resolução através de expansão em série de potências; aplicações a vibrações mecânicas.
Pré-requisitos: Álgebra Linear e Geometria Analítica I, Cálculo Infinitesimal I, Cálculo Infinitesimal II
Testes de hipóteses paramétricas: testes mais potentes e testes uniformemente mais potentes, lema de Neyman-Pearson. Relação entre intervalos de confiança e testes de hipóteses. Análise da variância. Testes do qui-quadrado. Testes de ajustamento. Testes do sinal, de Wilcoxon e de Mann-Whitney-Wilcoxon. Análise da correlação linear. Regressão linear simples e múltipla. Estimadores dos mínimos quadrados. Análise em componentes principais.
Conceitos básicos de Teoria de Grafos. Árvores em grafos. Grafos planares. Grafos eulerianos e hamiltonianos. Deverão ainda ser abordados um numero significativo dos tópicos seguintes: Teoria algébrica de grafos (em breve referência). Conectividade múltipla por arestas e por vértices. Emparelhamentos (incluindo o ``Problema da atribuição de empregos'' e soluções algorítmicas). Grafos dirigidos (em breve referência), incluindo redes e aplicações. Colorações, incluindo polinómios cromáticos (em breve referência). Espaços de ciclos e de cociclos.
Apresentação e análise exploratória dos dados. Espaço de probabilidade, probabilidade condicional e independência. Variáveis aleatórias e sua caracterização, momentos de uma variável aleatória (desigualdade de Chebyshev, leis dos grandes números). Distribuições discretas (e.g. binomial, Poisson), distribuições contínuas (e.g. normal, exponencial). Vectores aleatórios e sua caracterização, independência e condicionamento. Distribuições amostrais e suas propriedades, somas de variáveis, teorema do limite central, amostragem da distribuição normal. Estimação pontual e estimação intervalar, propriedades dos estimadores.
Pré-requisitos: Cálculo infinitésimal I e II.
Modelos probabilísticos e análise estatística dos dados simulados. Geração de variáveis aleatórias. Estimação de valores esperados: método de Monte-Carlo. Caracterização da variabilidade dos valores obtidos por simulação; breve introdução ao método de bootstrap. Técnicas de redução de variância. Simulação estocástica. Introdução aos processos estocásticos e sua simulação. Processo de Poisson, passeio aleatório e processos renewal. Cadeias de Markov - modelação/simulação de filas de espera. Análise estatística dos resultados. Introdução à utilização de um ambiente de simulação (caso de estudo filas de espera - análise estatística dos resultados e aplicação de técnicas de redução de variância).
Pré-requisitos: Cálculo Infinitésimal I e Probabilidades e Estatística
Algumas cifras clássicas e a sua cripto-análise. Descrição detalhada de algumas cifras e protocolos contemporâneos. Testes de primalidade e de factorização.
Pré-requisitos: aproveitamento em, pelo menos, 45 ECTS, dos quais 30, pelo menos, devem ser das áreas de Matemática ou Ciência dos Computadores.
Corpos obtidos como quocientes de anéis de polinómios, extensões de corpos. Corpo de decomposição de um polinómio. Grupo de Galois de uma extensão e grupo de Galois de um polinómio. Acções de grupos e representações de anéis. Álgebras de grupos. Caracteres. Aplicações à Física.
Pré-requisitos: Álgebra Linear (noções e propriedades de espaços vectoriais), Álgebra I (noções e propriedades de grupos e anéis)
Algoritmos eficientes para operações elementares de polinómios e para a resolução de equações polinomiais, Interpolação, Bases de Gröbner, Integração simbólica e aplicações.
Pré-requisitos:
Sinais e Sistemas: conceitos fundamentais numa perspectiva determinista. Transformadas: transformada de Fourier, transformada z, transformada discreta de Fourier, transformada rápida de Fourier. Amostragem de sinais em tempo contínuo; conversão A/D e D/A. Transformação por sistemas lineares. Filtros digitais (IIR e FIR). Sinais aleatórios. Descrição no domínio do tempo e da frequência. Estimação espectral (métodos não paramétricos).
Pre-requisitos: Cálculo. Conhecimentos elementares de Álgebra Linear, Probabilidades e Estatística e Análise Complexa.
Aplicações lineares em espaços de dimensão finita. Espaços normados. Espaços euclidianos. Análise de Fourier. Espaço de aplicações lineares. Teorema de Banach-Steinhause. Teorema de Banach. Aplicações compactas. Alternativa de Fredholm. Aplicações autoadjuntas. Teoria de Hilbert-Schmidt. Equações integrais. Aplicações elípticas. Problemas de contorno. Separação de variáveis. Equações diferenciais ordinárias. Função exponencial. Teorema de Liouville. Equações de segunda ordem. Problema de Sturm-Liouville. Função de Green. Equações de física matemática. Problema de Cauchy. Semigrupos de aplicações. Teorema de Hille-Yosida. Teorema de Lummer-Phillips. Equações de difusão e de ondas. Separação de variáveis. Existência e unicidade de soluções.
Pré-requisitos: ALGA I ou Álgebra Linear; Cálculo Infinitesimal I, Cálculo Infinitesimal II, Análise Vectorial ou Análise Vectorial e Geometria Diferencial ou Análise Infinitesimal ou Análise Complexa.
Resolução numérica de sistemas de equações lineares, de matrizes inversas e de determinantes. Resolução numérica de sistemas não lineares. Cálculo numérico de integrais. Integração numérica de equações diferenciais. Cálculo numérico de valores e vectores próprios de matrizes. Em cada tema, efectua-se o estudo de condições suficientes para a convergência dos métodos, de estabilidade, controlo de erros, construção de algoritmos, sua implementação e experimentação em computador, testes e interpretação de resultados.
Pré-requisitos: Introdução à Programação e Análise Numérica I
Teoria da medida e integração em espaços de medida, introdução dos espaços Lp, introdução dos conceitos fundamentais sobre espaços de Banach e espaços de Hilbert, teoremas de Hahn-Banach, da aplicação aberta, do gráfico fechado e de Banach-Steinhaus.
Subvariedades de IRn; funções diferenciáveis entre variedades. Métricas riemannianas. Formas diferenciais; diferencial exterior; Lema de Poincaré. Grupos de matrizes. Campos de vectores; fluxo; operadores diferenciais. Integração de formas diferenciais. Teorema de Stokes em variedades; relação com a análise vectorial clássica.
Definições de Qualidade e objectivo fundamental do Controlo Estatístico da Qualidade (SQC). Técnicas estatísticas básicas em SQC. Controlo estatístico do processo (SPC). Cartas de controlo para variáveis quantitativas. Cartas de controlo para variáveis qualitativas. Capabilidade de um processo. Técnicas de análise da capabilidade de um processo. Cartas de controlo CUSUM e EWMA. Controlo por amostragem (atributos): amostragem simples, dupla, multipla e sequencial. Controlo/regulação de processos por realimentação (EPC). Controladores PI e PID. Técnicas de integração de SPC com EPC.
Superfícies regulares. Geometria da aplicação de Gauss. Geometria intrínseca das superfícies. Geometria global das superfícies.
Pré-requisitos: Conceitos básicos de Álgebra Linear, Cálculo Infinitesimal, Geometria e Análise em IRn.( Análise Vectorial /Análise Infinitesimal)
A disciplina deve abordar uma ou várias geometrias não euclidianas, sendo possível escolher entre várias abordagens e tópicos, como Geometria Projectiva sintética e analítica, Modelos Projectivos de Cayley-Klein das geometrias euclidiana, hiperbólica e elíptica, Geometria de Inversão e Geometria Conforme, Geometria Hiperbólica, Geometria Esférica e Elíptica ou Geometria do ponto de vista de Klein.
Pré-requisito: alguns conhecimentos de geometria.
Os Elementos de Euclides. A geometria da régua e do compasso. Alguns trabalhos de Arquimedes. A álgebra medieval e renascentista. A geometria analítica de Fermat e de Descartes. O cálculo fluxional de Newton e o cálculo diferencial de Leibniz.
Métricas; continuidade; abertos e fechados; aderência e interior; convergência de sucessões; espaços métricos completos; topologias; produtos de espaços topológicos; conectividade; compacidade.
Pré-requisitos: Cálculo infinitésimal I, ALGA I, Cálculo Infinitésimal II, Geometria, ALGA II e Análise Vectorial.
Teoria qualitativa das equações diferenciais. Dinâmica unidimensional. Dinâmica simbólica. Hiperbolicidade.
Cálculo proposicional. Lógica de primeira ordem. Axiomática dos números naturais. Construção dos números reais. Introdução à teoria axiomática de conjuntos. Ordinais e cardinais. Eventual referência aos teoremas de incompletude de Godel.
Pretende-se que o aluno aborde de forma sistemática alguns problemas de carácter discreto, incluindo problemas de carácter finito ou recursivo, pelo desenvolvimento de métodos próprios. Será dada ênfase quer à criação de métodos directos, quer à criação de métodos que recorrem a instrumentos de outras áreas matemáticas, como a Álgebra ou a Análise.
Mecânica Newtoniana: Princípio do Determinismo de Newton. Estudo das equações do movimento em sistemas com um e dois graus de liberdade. Campos de forças potenciais ou conservativos. Estudo do movimento num campo central e problema dos dois corpos. Movimento de um sistema de n pontos materiais. Mecânica Lagrangiana: Cálculo de variações: equações de Euler-Lagrange, transformada de Legendre e equações de Hamilton. Teorema de Liouville. Simetrias de um sistema e leis de conservação: teorema de Emmy Nöether. Linearização em torno de pontos de equilíbrio: estabilidade e período das pequenas oscilações. Estudo do corpo rígido: eixos e momentos principais de inércia, tensor de inércia e energia cinética. Ângulos de Euler e pião de Lagrange.
Pré-requisitos: Cálculo e análise real com várias variáveis, Álgebra linear e geometria analítica e Equações diferenciais
Dinâmica populacional de uma só espécie. Dinâmica populacional de duas ou mais espécies: presa-predador, competição, mutualismo. Modelos epidemiológicos de doenças infecciosas. Farmacocinética. Cinética das reacções químicas e enzimáticas.
Definição e objectivos da análise de séries temporais. Análise descritiva. Conceitos fundamentais no estudo de processos estocásticos. Processos estacionários. Modelos para séries estacionárias. Modelos para séries não estacionárias. Previsão. Modelação de séries temporais. Regressão em séries temporais. Análise de séries temporais no domínio da frequência.
Pré-requisitos: Probabilidades e Estatística
Descrição matemática de sistemas: descrição entrada-saída. Dinâmica de sistemas lineares. Compensação de sistemas. Descrição matemática de sistemas por equações de estado. Solução das equações de estado. Formas canónicas. Realização de funções de transferência. Estabilidade total e BIBO estabilidade. Controlabilidade e observabilidade. Teorema da decomposição canónica. Realimentação de estado. Observadores de estado. Teorema da separação.
Modelo de Shannon da comunicação. Fontes de informação com ou sem memória. Entropia. Quantidade de informação. Codificação da fonte; compressão de dados. Codificação do canal; detecção e correcção de erros.
Pré-requisitos: Álgebra Linear e Geometria Analítica (I e II), Álgebra I, Probabilidades e Estatística
Diferença entre as invariâncias da Mecânica Newtoniana e do Electromagnetismo de Maxwell. Alguns Conceitos básicos de Teoria das Variedades. Fundamentos da Teoria da Relatividade Restrita. O Espaço - Tempo de Minkowski e sua Álgebra e Análise tensoriais. Fluidos na Relatividade Restrita. Noção de contínuo e Tensor de Energia-Impulso. Relação entre Curvatura e Gravitação. Noções básicas de Geometria Riemmaniana e sua aplicação ao Espaço-Tempo.
Jogos combinatórios. Jogos em forma normal. Escolha aleatória de uma estratégia; estratégias de equilíbrio. Jogos cooperativos; estratégias evolucionariamente estáveis. Jogos em forma de coligação. Jogos não cooperativos.
Introdução e formulação de um problema de reconhecimento de formas; alguns exemplos de aplicação. Vectores aleatórios e suas propriedades: distribuições de probabilidade, estimação de parâmetros, transformações lineares, componentes principais. Teoria da decisão estatística. Métodos paramétricos de Análise Discriminante: modelos gaussianos lineares e quadráticos. Métodos não paramétricos de Análise Discriminante: método do núcleo e K-NN. Redes neuronais, árvores de decisão e de regressão, máquinas de suporte vectorial. Classificação Automática não Supervisionada; classificação hierárquica e não hierárquica.
Pré-requisitos: Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II, Cálculo Infinitésimal I e II, Probabilidade e Estatística e conhecimentos de programação em R ou MATLAB. Recomenda-se ainda alguns conhecimentos de Estatística Aplicada.
Modelos estatísticos. Famílias exponenciais. Métodos de estimação, comparação de estimadores, propriedades dos estimadores de natureza assimptótica. Testes de hipóteses paramétricas. Inferência estatística não-paramétrica. Análise da associação entre duas variáveis.
Pré-requisitos: Probabilidades e Estatística
Esta disciplina aborda problemas geométricos que requerem soluções eficazes em termos algorítmicos. As soluções destes problemas envolvem, em geral, conhecimentos específicos, que serão também estudados.
Elementos básicos de matemática financeira: taxas de juro e taxas de desconto; rendas; amortização de empréstimos; taxa de retorno. Mercados financeiros: algumas noções básicas. Modelo para gerar preços de acções: forma e algumas propriedades. Lema de Itô: apresentação e justificação heurística. Opções financeiras: noções básicas e modelo de Black-Scholes. Equação de difusão: forma, propriedades, interpretação física; resolução pelo método das soluções de semelhança. Aplicação ao caso da equação de Black-Scholes: obtenção das expressões dos valores das opções call, put e binária europeias. Caso das opções sobre bens que pagam dividendos. Opções americanas: problema do obstáculo; problemas de fronteira livre; aplicação à determinação do valor das opções americanas. Contratos “forward” e de futuros; opções sobre futuros. Método binomial para a determinação do valor das opções europeias e americanas. Modelos determinísticos e estocásticos para taxas de juro. Equação do preço de uma obrigação e sua solução num caso particular. Produtos derivados das taxas de juro.
Esta disciplina fornece uma introdução à teoria de autómatos, sendo dada particular ênfase aos aspectos algébricos. O estudo de certas classes de linguagens formais, a começar pela das linguagens reconhecidas por autómatos finitos, será também abordado.
Equações diferenciais ordinárias: existência e unicidade; dependência de parâmetros; soluções aproximadas; fluxo local; prolongamento; rectificação do fluxo. Integrais primeiros; estabilidade assimptótica e estabilidade segundo Liapunov de um ponto de equilíbrio; teoremas de Liapunov e Cetaev; linearização; pontos de equilíbrio hiperbólicos. Conjuntos omega-limite; teorema de LaSalle; aplicação de retorno; teoremas de Grobman-Hartman e da variedade estável. Oscilações; teorema de Poincaré-Bendixson, critério de Bendixson. Perturbação singular. Aplicações como: equações do pêndulo, van der Pol, FitzHugh-Nagumo, Liénard.